La circumferència unitat

Les definicions de les raons trigonomètriques a partir dels costats d'un triangle rectangle només són vàlides per a angles aguts.

L'extensió d'aquestes raons a qualsevol angle es fa mitjançant una construcció geomètrica: la circumferència unitat.

Construcció de la circumferència unitat

1. Començarem per dibuixar una circumferència de radi 1 centrada a l'origen. Escriu a la línia d'entrada O=(0,0), i després escriu Circumferència[O,1].
2. Crearem un punt sobre la circumferència amb l'opció Punt sobre un objecte i clicant sobre la circumferència, o bé des de la línia d'entrada escrivint Punt [c] (segurament c serà el nom que el GeoGebra ha donat a la circumferència). Segurament el nom donat a aquest punt serà A.
3. Crearem una recta vertical que passi pel punt A. Això ho podem fer amb l'opció Recta perpendicular i clicant sobre el punt A i l'eix x, o bé amb l'opció Recta paral·lela i clicant sobre el punt A i l'eix y.
4. Crearem el punt d'intersecció entre aquesta recta i l'eix x amb l'opció Intersecció de dos objectes. Segurament, el nom d'aquest punt serà B. Seguidament, amagarem aquesta recta.
5. Crearem els segments OA, AB i BO, i els donarem un color diferent a cada un, especialment els dos últims.
6. Marca l'angle que fa el segment OA amb el semieix x positiu: escriu a la línia d'entrada Angle[(1,0),(0,0),A]. Indica després que es mostri l'etiqueta amb el valor de l'angle.

Prova de moure el punt A. L'has de poder situar a qualsevol lloc, però lligat a la circumferència. A més l'angle ha de donar el valor correcte.

Si es defineix el sinus (en un triangle rectangle) com el quocient entre el catet oposat a l'angle i la hipotenusa, en aquesta construcció, com que la hipotenusa és el radi de la circumferència i mesura 1, la llargada del catet oposat, el segment AB és el valor de sinus.

Anàlogament, la llargada del segment OB és el valor del cosinus de l'angle.

El fet d'haver-los representat així fa que els segments AB i OB apareguin per qualsevol angle i que, per tant, puguem associar un valor per al sinus i un altre per al cosinus per a qualsevol angle.

La tangent

1. Per a representar la tangent ens caldrà fer una recta vertical que passi per (1,0). Per això tenim diverses opcions, però la més simple és escriure a la línia d'entrada l'expressió x=1.
2. Ara, cal allargar el radi de la circumferència de manera que talli aquesta recta. Per això cal fer la recta que passi per O i A amb l'opció Recta per dos punts.
3. Marca el punt de tall entre el radi prolongat i la recta vertical amb l0opció Intersecció de dos objectes. Segurament tindrà el nom C.
4. Amaga la recta vertical i la recta que prolonga el radi.
5. Fes un segment entre el punt (1,0) i el punt C. Per això, escriu a la l´inia d'entrada Segment[(1,0),C]. Marca aquest segment d'un altre color perquè representa el valor de la tangent.

Per què aquest segment és la tangent?

La justificació es basa en la semblança de triangles. Els triangles OAB i ODC (C és el punt (1,0)) són semblants, tenen els mateixos angles interiors. Per això els seus costats són proporcionals:

Les raons recíproques

La secant és la recíproca del cosinus: si el cosinus és la raó entre el catet adjacent i la hipotenusa, la secant és la raó entre la hipotenusa i el catet adjacent. Per tant el que ens interessa ara és fer un triangle semblant al que tenim però de manera que sigui el catet adjacent el que sempre mesuri 1.

Això ja ho hem aconseguit una mica quan hem creat la recta x=1.

El segment OC és la hipotenusa d'un triangle rectangle que té per catet adjacent un segment de llargada 1, per tant és la secant.

La cosecant és la recíproca del sinus: és la raó entre la hipotenusa i el catet oposat. Ens interessa ara aconseguir que el catet oposat mesuri 1.

Per això crearem la recta y=1 escrivint-ho a la línia d'entrada.

Farem la intersecció entre aquesta recta i la que prolonga el radi. Segurament aquest punt serà E.

El segment OE és la hipotenusa d'un triangle rectangle de catet oposat 1, per tant és la cosecant.

La cotangent és la raó entre el catet adjacent i l'oposat. Per això ens cal que el catet oposat mesuri 1.

El segment que hi ha entre (0,1) i E és proporcional al catet adjacent en la mateixa mesura que 1 és proporcional al catet oposat, per això representa la cotangent.