L'arc capaç

 

La punta de l'escaire

  1. Pren un full i dos claus petits o agulles de cap.
  2. Clava'ls en el full, deixant una separació d'uns quants centímetres. Millor si a sota hi tens una superfície semidura com un suro.
  3. Agafa un escaire de dibuix i fica un dels seus vèrtexs entre les dues agulles; fes una marca en el lloc abastat pel vèrtex.
  4. Ves provant altres orientacions de l'escaire per tal de tenir més marques.

Aquestes marques formen una figura coneguda. Quina és?

 

  1. Sobre el mateix full, i sense canviar de lloc els claus, fes el mateix amb l'altre vèrtex de l'escaire. Utilitza un altre color per fer les marques.
  2. Repeteix el mateix procés amb els vèrtexs d'un cartabó.

Quines figures van apareixent? Enuncia el resultat que acabes d'obtenir.

Quina relació hi ha entre el vèrtex emprat per fer les marques i la figura obtinguda?

Tots els punts que has trobat tenen una mateixa propietat: des de qualsevol punt d'aquest ......... , l'angle amb que es veuen les dues agulles és .........

 

 

 

Ara, amb el GeoGebra

  1. Crea dos punts i anomena'ls O i A.
  2. Fes una circumferència amb centre O i que passi pel punt A.
  3. Marca un altre punt sobre la circumferència. Anomena B aquest nou punt.
  4. Marca un altre punt sobre la circumferència, en la part on l'arc que uneix els punts A i B és major. Anomena C aquest nou punt.
  5. Fes els segments AC i BC.
  6. Determina l'angle ACB i mesura'l. Per ressaltar-los, canvia el color del punt C, dels segments AC i BC i de l'angle ACB.
  7. Mou el punt C. Quins valors pren l'angle ACB?
  8. Mou ara el punt B. Quins valors pren l'angle ACB?
  9. Sense fer els segments AO i BO, determina l'angle AOB i mesura'l.

Quin nom rep un angle com els AOB? (Pista: fixa't on té el vèrtex l'angle AOB)

Quin nom rep un angle com els ACB? (Pista: fixa't on té el vèrtex l'angle ACB)

Ves provant diferents posicions del punt B i anota els valors de l'angle ACB per a cada valor de l'angle AOB. Quina relació hi ha entre els angles AOB i ACB? Enuncia el resultat que has observat.

 

  1. Marca un altre punt sobre la circumferència, en la part on l'arc que uneix els punts A i B és menor. Anomena D aquest nou punt.
  2. Fes els segments AD i BD.
  3. Determina l'angle ADB i mesura'l. Per ressaltar-los, canvia el color del punt D, dels segments AD i BD i de l'angle ADB.
  4. Mou el punt D. Quins valors pren l'angle ADB?
  5. Mou ara el punt B. Quins valors pren l'angle ADB?

Per cada valor d'AOB, mesura els angles ACB i ADB. Pren vàries mesures d'aquests angles (mínim 15, millor 25), organitza'ls en una taula i fes les gràfiques que mostrin com depen ACB respecte AOB, com depen ADB respecte ACB i com depen ADB respecte AOB.

Quines relacions hi ha entre aquests angles? Enuncia el resultat que has observat.

 

 

 

Construcció inversa (sense GeoGebra)

  1. Dibuixa dos punts, que anomenaràs A i B (que representen els llocs on havies clavat les agulles).
  2. Fes el segment AB.
  3. Volem trobar l'arc que formaria un angle de 65 graus

On hauríem de situar el centre O? (Observa la forma del triangle OAB i les relacions entre els seus angles)

I si l'arc l'hagués format un angle de 80 graus?

I un de 40 graus?

I un de 20 graus?

 

 

 

Una aplicació

Un mariner ens diu que des d'on està la seva barca veu que l'angle entre la Torre d'en Nadal i el port d'Arenys és de 35 graus. És possible saber la seva posició només amb aquesta dada? Explica-ho.

La distància entre la Torre d'en Nadal i el port d'Arenys és d'uns 15 km.

 

Ara, el mateix mariner ens diu que veu que l'angle entre la Torre d'en Nadal i el port d'Arenys és de 35 graus i, alhora, que l'angle entre el port d'Arenys i el far de Calella és de 50 graus. És possible saber la seva posició només amb aquestes dades? Explica-ho.

La distància entre el port d'Arenys i el far de Calella és d'uns 9 km.

 

 

 

Per què passa això? (ampliació)

  1. Crea una circumferència amb centre O, i amb els punts A, B i C sobre la circumferència (recorda que C ha d'estar a l'arc major que formen A i B).
  2. Dibuixa el triangle OAC i pinta'l.
  3. Fixa't amb el triangle OAC. De quin tipus és? Com són els seus angles? Quina relació hi ha entre ells? Escriu-la.
  4. Dibuixa el triangle OBC i pinta'l. Situa el punt C de manera que els dos triangles no estiguin superposats.
  5. Fixa't amb el triangle OBC. De quin tipus és? Com són els seus angles? Quina relació hi ha entre ells? Escriu-la.
  6. Ara fixa't amb l'angle ACB. De quina manera es pot descomposar l'angle ACB en dos angles que hagin aparegut en els triangles OBC i OAC?
  7. I ara fixa't en l'angle AOB. Si coneguéssim els angles dels triangles AOC i AOB, com el podríem deduir?

Juntant totes aquestes relacions entre angles, què pots dir de la relació entre ACB i AOB?

 

  1. Comencem amb la circumferència amb centre O, i amb els punts A, B i D sobre la circumferència.
  2. Dibuixa el triangle OAD i pinta'l.
  3. Fixa't amb el triangle OAD. De quin tipus és? Com són els seus angles? Quina relació hi ha entre ells? Escriu-la.
  4. Dibuixa el triangle OBD i pinta'l.
  5. Fixa't amb el triangle OBD. De quin tipus és? Com són els seus angles? Quina relació hi ha entre ells? Escriu-la.
  6. Fixa't amb l'angle ADB. De quina manera es pot descomposar l'angle ADB en dos angles que hagin aparegut en els triangles OAD i OBD?

Quina relació hi ha entre els angles ADB i AOB?

 

I quina relació hi ha entre els angles ADB i ACB?

 

 

 

 

Tornar al llistat d'activitats

Tornar a la pàgina inicial