El secret del Saló Ovalat

El Gran Saló Ovalat era ple d'espies de gom a gom.

Els espies eren vigilats pels serveis de contraespionatge, i aquests tenien ben a prop els serveis de vigilància del contraespionatge. I, malgrat tot, el Primer Ministre tenia l'absoluta necessitat de comunicar a Sa Majestat el gran secret del qual acabava d'assabentar-se...

Com qui no vol la cosa, en acostar-se al rei li va dir amb veu ben clara: "Majestat, sembla que els focus de rebels reclamen la nostra atenció".

Tots els espies anaren cap a les parets del Gran Saló Ovalat, per treure dissimuladament dels folres de les capes els llibres de claus dels missatges xifrats.

Darrera d'ells, els contraespies, naturalment, seguits discretament pels contra-contraespies. El Rei, mentre, tranquilament però amb passes decidides, es dirigí cap a un dels costats del Saló. El Primer Ministre caminà justament cap a la banda contrària del Saló. Els espies els observaben de reüll, mentre llegien el significat en clau de les paraules "sembla", "focus", "rebels", "atenció"... Els contraespies estaven pendents d'ells i els espies dels contraespies no es perdien ni un detall.

El rei es va parar un moment i el Primer Ministre, respectuós amb el seu monarca, també s'aturà. Estaven a més de 20 metres l'un de l'altre, quan un dels espies, el que tenia més bona vista, en veure que el Primer Ministre movia els llavis, va dir: "Aquest Ministre, o parla sol, o està resant".

Però ningú no va poder escoltar res. Només el Rei va percebre clarament en les seves oïdes el missatge de Primer Ministre: "Majestat, amb tots els meus respectes, la seva bragueta està completament oberta".

Quin és el gran secret del Saló Ovalat? Per què només el Rei, en un saló ple de gent, a més de 20 metres del Primer Ministre, va escoltar el missatge?

Un enigma que la geometria, una vegada més, et permetrà comprendre.

Quina era la forma del Gran Saló? Construcció amb llapis i paper

1. Agafa un tros de fil i fes dos nusos als seus extrems. Passa una agulla de cap per cada nus i clava-les a un suro (posa abans un paper) de manera que el fil \textbf{no} quedi tibant.

   

2. Ressegueix amb un llapis totes les posicions tals que el fil quedi tibant. Què s'obté?
3. Prova de posar les agulles més separades. Quina forma apareix?
4. I si poses les agulles més juntes?

   

Quina era la forma del Gran Saló? Construcció amb el GeoGebra

1. Construeix una circumferència i anomena-la C. Anomena O el seu centre.
2. Assenyala un punt de l'objecte circumferència i anomena'l A. Comprova que, modificant la grandària de la circumferència, el punt A segueix essent de la circumferència.
3. Marca un punt interior a la circumferència i anomena'l P.
4. Ara construeix una circumferència tangent a C i que passi per P i per A. Per això, seguiràs els següents passos.
5. Construeix la mediatriu dels punts A i P.
6. Construeix la recta que passa pels punts A i O.
7. Marca el punt d'intersecció entre les dues rectes. Aquest punt, que anomenarem T, és el centre de la circumferència tangent.
8. Amaga les dues rectes i construeix la circumferència tangent.
9. Comprova que has fet bé la construcció movent el punt A.

10. Activa la traça del centre de la circumferència tangent.
11. Clica el punt A i mou-lo lentament al llarg de la circumferència.
12. Veuràs que queden marcades totes les posicions d'aquest punt. Quina forma descriu la traça? Saps el nom d'aquesta corba?
13. Per seguir fent coses, hem d'esborrar la traça.
14. Mou una mica el punt P, apropant-lo a la circumferència C.
15. Repeteix els passos anterior per obtenir la traça. Quina forma s'obté ara?
16. Prova altres posicions del punt P. Com va canviant la forma de la traça?

Propietats

1. Crea els segments OT i PT i mesura'ls.
2. Mou el punt A. Quins valors prenen les longituds d'aquests segments? Hi veus alguna relació?
3. Prova-ho amb altres posicions de P. Què succeeix?
4. Crea el segment OP i mesura'l.
5. El quocient entre OP i OT+PT es coneix com Excentricitat. Calcula la excentricitat per a algunes de les corbes que hagis dibuixat.

L'explicació

1. Fes aparèixer la mediatriu dels punts A i P.
2. Construeix una recta perpendicular a m i que passi per T. Marca un punt sobre aquesta perpendicular i anomena'l B.
3. Mou el punt A. Quina posició pren la recta perpendicular respecte la traça?
4. Assenyala i mesura els angles PTB i BTO.
5. Mou el punt A. Quins valors prenen els angles?

Una construcció equivalent

Hi ha més maneres de construir aquesta corba.

1. Crea dos punts: A i O. Crea la recta que passa per aquests dos punts i anomena-la r. Crea un altre punt B sobre aquesta recta.
2. Crea una circumferència amb centre a O i que passi per A. Anomena-la C1. Crea una circumferència amb centre a O i que passi per B. Anomena-la C2. Has de tenir dues circumferències concèntriques.
3. Crea un punt sobre la circumferència C2 i anomena'l P.
4. Crea la recta que passa per P i O i anomena-la s. Marca el punt d'intersecció d'aquesta recta amb la circumferència C1 i anomena'l Q.
5. Crea una recta paral·lela a r que passi per Q i una recta perpendicular a r que passi per P. Marca el punt d'intersecció d'aquestes dues rectes i anomena'l E.
6. Troba la traça del punt E quan mous el punt P per la circumferència C2.
7. Quina forma apareix?
8. Ves provant diferents posicions del punt B. Com varia la traça obtinguda?

Tornar al llistat d'activitats

Tornar a la pàgina inicial