Trobant els elements de les còniques

Tot i que el més habitual sigui obtenir la cònica a partir dels seus elements, en aquesta activitat proposem el procés (no trivial) contrari.

Trobant el centre i el radi de la circumferència

Entra l'expressió d'una circumferència. Aquí en tens algunes d'exemple: x²+y²-6x+8y=40, x²+y²-8x-5y=30, x²+y²+3x-y=45, x²+y²-5x-3y=10, x²+y²+2x+12y=12, x²+y²-x-2y=20,
Marca tres punts sobre la circumferència, i anomena'ls A, B i C.
Construeix les mediatrius dels punts A i B, dels punts B i C, i dels punts A i C.
El punt on es tallen les mediatrius és el centre de la circumferència, i la distància del centre a qualsevol dels punts abans assenyalats és el radi.

Trobant el focus i la directriu a partir de la paràbola

Entra l'expressió d'una paràbola. Aquí en tens algunes d'exemple: x²-3x-2y+7=0, x²-5x+3y=-3, 4x-y²+2y=5, 2x+y²+3y-4=0, 9x²+y²+6xy -78x+34y+199=0, 9x²+4y²-12xy -6x-22y+40=0,
Marca dos punts sobre la paràbola, un a cada banda del vèrtex, i els anomenes A i B.
Fes la recta que passa per A i B, i l'anomenes a; troba el seu punt mitjà i l'anomenes C.
Marca un altre punt sobre la paràbola i l'anomenes D.
Construeix la recta paral·lela a la recta a que passi pel punt D i l'anomenes b. Troba l'altre punt de la paràbola que talla la recta b i l'anomenes E. Troba el punt mitjà entre els punts D i E i l'anomenes F.
Construeix la recta que passa pels punts C i F i l'anomenes c: aquesta recta és paral·lela a l'eix de la paràbola.
Fes una recta perpendicular a la recta c i que passi pel punt A (si vols, també podria ser B o D o E), i l'anomenes d. Troba l'altre punt de tall de la recta d amb la paràbola i l'anomenes G. Troba el punt mitjà entre els punts A i G, i l'anomenes H.
Construeix la recta paral·lela a la recta c que passi pel punt H: és l'eix de la paràbola, i l'anomenes eix.
El punt de tall entre l'eix i la paràbola és el vèrtex de la paràbola. Assenyala'l i anomene'l VÈRTEX.
Amaga les rectes a, b, c i d i els punts C, E, F, G i H.
Construeix la tangent a la paràbola que passa pel punt A, i l'anomenes e. Troba el punt de tall entre les rectes e i eix, i l'anomenes I.
Ara fes la recta tangent a la paràbola pel punt VÈRTEX, i l'anomenes f.
Troba el punt de tall entre les rectes i f, i l'anomenes J.
Construeix la recta perpendicular a la recta e i que passi pel punt J, i l'anomenes g. El punt de tall entre les rectes g i eix és el focus de la paràbola, i l'anomenes FOCUS.
Comprova que si repeteixes la construcció de la recta e i els passos següents, però amb el punt B o el punt D o el punt E, trobem igualment el focus de la paràbola. Per què?
Fes una circumferència amb centre el punt VÈRTEX i que passi pel punt FOCUS, i l'anomenes h.
Anomena K a l'altre punt de tall entre la recta eix i la circumferència h. Construeix la recta perpendicular a la recta eix que passi pel punt K: és la recta directriu de la paràbola, i l'anomenes directriu.
Amaga els punts I, J, K , les rectes e, f, g i la circumferència h.

Trobant els elements de l'el·lipse

Entra l'expressió d'una el·lipse. Aquí en tens algunes: 3x²+5y²+2xy +4x+8y-35=0, 3x²+8y²-4xy -2x-2y-10=0, 5x²+y²-4xy -4x-2y-10=0, 5x²+y² -4x-2y-16=0, 4x²+2y² -6x-2y-11=0, x²+3y² +6x-4y-15=0,
Situa 3 punts sobre l'el·lipse, i els anomenes A, B i C.
Fes la recta tangent a l'el·lipse sobre cada un d'ells, i les anomenes t_a, t_b, i t_c.
Troba el punt de tall entre les rectes t_a i t_b, i l'anomenes I_1. Troba el punt mitjà entre els punts A i B, i l'anomenes M_1. Troba la recta que passa pels punts I_1 i M_1, i l'anomenes r_1.
Troba el punt de tall entre les rectes t_a i t_c, i l'anomenes I_2. Troba el punt mitjà entre els punts A i C, i l'anomenes M_2. Troba la recta que passa pels punts I_2 i M_2, i l'anomenes r_2.
Anomena centre el punt de tall entre les rectes r_1 i r_2.
Comprova que, si fas el punt de tall I_3 entre les rectes t_b i t_c, trobes el punt mitjà M_3 entre els punts B i C, i trobes la recta r_3 que passa pels punts I_3 i M_3, aquesta recta també passa pel punt centre.
Ara fes una circumferència amb centre el punt centre i que passi per qualsevol dels punts inicials (A, B o C). Troba els punts de tall entre aquesta circumferència i l'el·lipse. Amaga aquesta circumferència.
Construeix les rectes que passin per punts de tall oposats segons el centre. Amaga els punts que t'han permès construir aquestes rectes (el punt A, B o C que has triat no l'amaguis).
Construeix les dues rectes bisectrius a aquestes rectes (també les podies haver fet directament a partir dels punts de tall i el centre). Amaga aquestes rectes (no les bisectrius).
Troba els punts d'intersecció de les bisectrius amb l'el·lipse. Anomena D_1 i D_2 els que estan més separats, i E_1 i E_2 els que estan més propers. La distància entre el centre i aquests punts són els semieixos de l'el·lipse, que serviran per trobar la posició dels focus.
Construeix una recta paral·lela a l'eix gran que passi pel punt E_1. Construeix una altra paral·lela, però a l'eix petit, que passi pel punt D_1. Troba el punt de tall d'aquestes dues rectes i l'anomenes T. Amaga aquestes rectes.
Fes una circumferència de centre E_1 i que passi per T. Aquesta circumferència talla l'eix gran de l'el·lipse en dos punts, que són els focus.

Trobant els elements de la hipèrbola

Entra l'expressió d'una hipèrbola. Aquí en tens algunes: 3x²+y²+5xy +3x+2y-15=0, x²-3y² +6x-4y-15=0, 5x²-2y² +4x-2y-13=0, 5x²-7y² -2y-20=0, 5x²-4y²-4xy +3x-2y-10=0, 2x²-3y²-5xy +5x-2y-14=0,
Per a trobar el centre es fa igual que en el cas de l'el·lipse. Situa 3 punts sobre la hipèrbola, i els anomenes A, B i C.
Fes la recta tangent a la hipèrbola sobre cada un d'ells, i les anomenes t_a, t_b, i t_c.
Troba el punt de tall entre les rectes t_a i t_b, i l'anomenes I_1. Troba el punt mitjà entre els punts A i B, i l'anomenes M_1. Troba la recta que passa pels punts I_1 i M_1, i l'anomenes r_1.
Troba el punt de tall entre les rectes t_a i t_c, i l'anomenes I_2. Troba el punt mitjà entre els punts A i C, i l'anomenes M_2. Troba la recta que passa pels punts I_2 i M_2, i l'anomenes r_2.
Anomena centre el punt de tall entre les rectes r_1 i r_2.
Ara fes una circumferència amb centre el punt centre i que passi per qualsevol dels punts inicials (A, B o C). Troba els punts de tall entre aquesta circumferència i la hipèrbola. Amaga aquesta circumferència.
Construeix les rectes que passin per punts de tall oposats segons el punt centre.
Construeix les dues rectes bisectrius a aquestes rectes i les anomenes eix_1 (la recta que talli la hipèrbola en dos punts) i eix_2 (la recta que no la talla). Amaga les rectes i els punts de tall que t'han ajudat a trobar les bisectrius.
Marca els dos punts d'intersecció de la bisectriu eix_1 amb la hipèrbola: són els vèrtexs de la hipèrbola i els anomenes V_1 i V_2. La distància entre el punt centre i un dels vèrtexs s'anomena semieix real de l'el·lipse.
Fes una circumferència amb centre el punt centre i que passi pel punt V_1 (o V_2, com vulguis).
Construeix un recta que passi per un dels punts inicials de la hipèrbola (A, B o C) i que sigui perpendicular a la recta eix_1, i l'anomenes perp_1. Aquesta recta talla la recta eix_1 en un punt que anomenaràs projecció. Construeix una recta tangent a la circumferència que passi pel punt projecció, i l'anomenes t.
Construeix la recta perpendicular a la recta t que passi pel punt de la hipèrbola que t'ha portat al punt projecció. Marca el punt de tall entre aquesta perpendicular i eix_1, i l'anomenes P. Amaga les rectes tangents i la perpendicular.
La distància entre el punt projecció i el punt P s'anomena semieix imaginari de l'el·lipse.
Per traslladar aquesta distància ens ajudarem d'una circumferència i d'una paral·lela: construeix una circumferència amb centre el punt projecció i que passi pel punt P; troba el punt de tall entre aquesta circumferència i la recta perp_1 i l'anomenes Q; amaga aquesta circumferència; construeix una recta paral·lela a la recta eix_1 que passi pel punt Q i l'anomemes par_1; amaga Q; construeix la recta perpendicular a la recta eix_1 i que passi pel punt V_1; troba el punt de tall entre aquesta recta i par_1, i l'anomenes R; amaga aquesta recta perpendicular i par_1.
Si fem una circumferència amb centre el punt centre i que passi pel punt R, tallarà la recta eix_1 en dos punts: són els focus de l'el·lipse i els anomenem F_1 i F_2.
Si fem una recta que passa pels punts centre i R, observarem que aquesta recta és cada cop més propera a la hipèrbola: és una de les asímptotes de la hipèrbola. Com trobaries l'altra?

Agraïment. Per preparar aquesta activitat, ha sigut molt valuosa la consulta del llibre Ejercicios de Geometria Descriptiva, de Fernando Izquierdo Asensi.

Tornar a la pàgina inicial