La reflexió a les còniques

Imaginem que la cònica és una secció d'un mirall: com es reflectirien els raigs de llum? Això és el que anem a explorar.

Comencem per la simulació d'un mirall pla.

1. Dibuixa una recta de nom r a partir de dos punts A i B.
2. Marca un punt C a dins de la recta i un punt D a fora.
3. Fes la recta perpendicular a r i que passa pel punt C. Anomena-la n i aplica-li un traç discontinu.
4. Fes la semirecta que surt de C i passa per D.
5. Aplica la simetria axial al punt D respecte la recta n: apareixerà el punt D'.
6. Fes la semirecta que surt de C i passa per D'.
7. Movent els punts C i D pots comprovar que les dues semirectes són simètriques respecte la recta n; dit d'una altra manera, si una semirecta és un raig de llum que incideix al mirall pla r en el punt C, aleshores rebota (es reflecteix) i segueix l'altre semirecta, i els angles que fan els raigs incident i reflectit amb la recta normal (la perpendicular n) és el mateix.

Ara aplicarem això a la paràbola:

1. Crea una recta a partir de dos punts A i B, i anomena-la d (de directriu). Crea un punt exterior a la recta i anomena'l F (de focus).
2. Crea la paràbila a partir de la recta d i del punt F.
3. Crea un punt P sobre la paràbola.
4. Fes una recta perpendicular a d i que passi pel punt P. Marca un punt C sobre aquesta recta. Amaga aquesta recta.
5. Fes la recta tangent a la paràbola que passa pel punt P.
6. Crea la recta perpendicular a la recta tangent i que passi pel punt P, i anomena-la n.
7. Aplica la simetria axial al punt C respecte la recta n. Amaga la recta tangent i la seva perpendicular n.
8. Fes les semirectes que surten de P i passen per C i C'.
9. Mou el punt P al llarg de la paràbola. Si el raig incident és la semirecta perpendicular a la directriu, per on passa sempre el raig reflectit?

Ara aplicarem això a la el·lipse:

1. Crea una el·lipse que tingui per focus els punts F_1 i F_2, i que passi pel punt A.
2. Fes un punt P sobre l'el·lipse.
3. Crea la recta tangent a l'el·lipse que passi pel punt P.
4. Crea la recta perpendicular a la recta tangent que acabes d'obtenir, i que també passi per P. Anomena-la n. Amaga la recta tangent.
5. Aplica la simetria axial al punt F_1 respecte la recta n.
6. Amaga la recta n.
7. Fes el segment que passa per P i F_1.
8. Fes la semirecta que surt de P i passa per F_1'.
9. Si la primera semirecta és el raig incident al mirall el·líptic, per on passa sempre el raig reflectit?

Finalment, aplicarem això a la hipèrbola:

1. Crea una hipèrbola que tingui per focus els punts F_1 i F_2, i que passi pel punt A.
2. Fes un punt P sobre la hipèrbola.
3. Crea la recta tangent a la hipèrbola que passi pel punt P.
4. Crea la recta perpendicular a la recta tangent que acabes d'obtenir, i que també passi per P. Anomena-la n. Amaga la recta tangent.
5. Aplica la simetria axial al punt F_1 respecte la recta n.
6. Amaga la recta n.
7. Fes el segment que passa per P i F_1.
8. Fes la semirecta que surt de P i passa per F_1'.
9. Fes la recta que passa per P i F_1', i aplica-li un estil puntejat.
10. Si el segment representa el raig incident al mirall hiperbòlic, la semirecta és el raig reflectit. Quina característica té aquest raig reflectit?

Tornar a la pàgina inicial