|
Quina trajectòria segueix un punt que està la vora d'una roda?
Simulació d'una roda rodant pel terra
- Dibuixarem un terra horitzontal. Entra l'equació y=0, i anomena terra a la recta obtinguda.
- Fes un punt, que anomenarem A, exterior a la recta terra: aquest valor determinarà l'altura de l'eix de gir de la roda.
Fes una recta paral·lela a la recta terra que passi pel punt A, i anomena-la h_{eix}. Aplica un estil discontinu a aquesta recta.
- Fes un punt sobre la recta h_{eix}, i anomena'l C.
- Fes una recta perpendicular a h_{eix} i que passi pel punt C. Troba el punt d'intersecció entre aquesta recta perpendicular i la recta terra i l'anomenes T. Amaga aquesta recta perpendicular.
- Fes una circumferència amb centre C i que passi per T.
- Fes una recta perpendicular a h_{eix} i que passi per A. Troba el punt d'intersecció entre aquesta recta perpendicular i la recta terra i l'anomenes O (d'origen). Amaga aquesta recta perpendicular.
- A la línia d'entrada, defineix una variable numèrica de nom arc que serà el quocient entre la distància entre O i T, i la distància entre C i T, que és el radi de la circumferència; és a dir, la variable arc compta quantes vegades cap el radi en la distància OT, o sigui, els radiants que ha girat la roda.
- Ara traslladarem el valor d'arc sobre la circumferència. Activa la icona "Angle amb una amplitud donada", i marques els punts T i C (en aquest ordre), per angle escrius arc, i marques sentit horari. Veuràs com es crea un punt T'.
- Arreglem estèticament la construcció. Fes un segment de C a T'. Amaga T, T', l'angle i el nom de la circumferència. Insereix el text: Mou el punt C.
- Comprovació: si mous el punt C, el gir del segment farà que sembli que la roda gira.
Quina trajectòria segueix el punt T'?
- Mostra el punt T', i activa-li la traça. Mou ara el punt C. Acabes de visualitzar la trajectòria d'un punt que està a la vora d'una roda. Aquesta corba s'anomena cicloide.
- Amb la traça activada, no podem canviar el valor del punt lliscant radi. Per això, desactivarem la traça, activarem la icona "Lloc geomètric", i seleccionarem els punts T' i C (en aquest ordre, perquè vol dir el conjunt de posicions de T' segons vagi canviant C). Veuràs que torna a aparèixer la cicloide, però ara es pot variar el valor de radi.
- Si t'hi fixes, observaràs que la cicloide situada a l'esquerra del punt O canvia, i això és perquè la definició de la variable numèrica arc es fa amb la distància, que sempre és positiva. Per arreglar aixó, cal anar a veure com està definit arc: ens trobarem amb la fórmula Distància[T,O]/radi. Cal retocar la fórmula i tenir Si[ x(C)>=x(O), Distància[T,O]/radi, -Distància[T,O]/radi ].
- Desa la feina amb el nom cicloide (i, si vols, afegeixes alguna cosa més).
Variacions sobre la cicloide
Aprofitant la construcció anterior, visualitzarem la trajectòria d'un punt que gira amb la roda però que no està a la seva vora.
- Crearem un nou punt lliscant, de nom factor, que prengui valors entre 0,1 i 3.
- Crearem una circumferència amb centre el punt C i de radi el producte dels valors factor i radi. Farem una semirecta amb origen C i que passi per T'. Anomenarem P el punt d'intersecció entre aquesta semirecta i la circumferència. Amagarem la semirecta i la circumferència.
- Una alternativa a l'apartat anterior és la de definir el punt P com P=C+factor*Vector[C,T'].
- Ara activarem el lloc geomètric del punt P segons varia C.
- Podeu observar que, si factor=1, seguim tenint la cicloide, però si factor és més petit que 1 o si és més gran que 1 pren altres formes, anomenades cicliodes reduïda o allargada (respectivament) o, simplement, trocoides.
|