|
Seguim explorant quina trajectòria segueix un punt que està la vora d'una roda, però ara fent que la roda giri al voltant d'una altra roda.
Simulació d'una roda rodant per una altra roda
- Dibuixarem un punt, que anomenarem O.
- Fes una circumferència amb centre el punt O i de radi 2. Situa un punt sobre la circumferència i l'anomenes A.
- Fes una segona circumferència amb centre el punt O també, però de radi 4.
- Fes una semirecta amb origen el punt O i que passi per A.
- Troba la intersecció d'aquesta semirecta amb la segona circumferència i li dius B. Ara ja pots amagar aquesta circumferència i la semirecta.
- Fes una circumferència amb centre B i que passi per A. Tota aquesta construcció serveix per tenir dues circumferències tangents i de la mateixa grandària.
- Marca un punt C sobre la primera circumferència. Mesura l'angle COA (és a dir, delimitat pels punts C, O i A). Deixa el nom α que donarà el programa.
- Transporta l'angle α a l'altra circumferència, a partir del segment BA; per això, treballa amb "Angle amb amplitud donada" en el que indicaràs els punts A i B (en aquest ordre) i l'angle α. T'apareixerà un punt A'. Mou el punt A i comprova si el punt A' dóna la sensació que una circumferència giri sobre l'altre; si no és així, prova en aplicar l'angle α en l'altre sentit (per defecte, hi ha el sentit antihorari).
- Seguim. Fes el segment B A'. Amaga els punts O, B i C, i els angles α i β. Només deixem el punt A, que és el que ens serveix per moure la circumferència, i A', que és el que crea el lloc geomètric.
- Activa la traça del punt A' mentre mous A: estàs veient la primera epicicloide, anomenada també cardioide. Per veure-ho millor, activa l'opció "Lloc geomètric" del punt A' respecte del punt A.
- Desa aquesta construcció amb un nom que inclogui el nom de la corba obtinguda.
La segona epicicloide
Què passaria si la segona circumferència no tingués la mateixa grandària que la primera? A continuació, retocarem la construcció anterior (l'has desat?).
- Per començar, mostrarem tots els objectes de la construcció.
- Anem a explorar el cas que la circumferència gira tingui el radi meitat de l'altre. Per això, hem d'anar a les propietats de la circumferència d (la que situa el centre de la circumferència que gira), i posar-li radi 3. Automàticament el lloc geomètric ha canviat, però si mous el punt A observaràs que la sensació de gir no és tan nítida com en el cas de la cardioide, és com si patinés una mica.
- Falta retocar una cosa: els angles. Quan el punt A ha recorregut un arc donat respecte O, el punt A' ha de recórrer el mateix arc respecte B; l'arc és el producte del radi per l'angle, per tant, quan canviem el radi, l'angle canvia. Més concretament, si el radi BA (o BA') és la meitat de l'angle OA, aleshores l'angle β ha de ser el doble de l'angle α. Anem a les propietats del punt A' i, allà on diu Rotació[ A, α, B], escrius Rotació[ A, 2 α, B].
- Pots comprovar ara que, quan mous el punt A, no hi ha sensació de patinar. Aquesta corba és la segona epicicloide o nefroide. Desa la construcció amb un nom que contingui el nom de la corba.
Més epicicloides
Seguidament, retocarem la construcció anterior (l'has desat, oi?) per tal d'explorar la família de les epicicloides.
- Crearem un punt lliscant, de nom factor, que vagi des de 1 fins a on vulguis, però amb increments de 1.
- Anem a les propietats de la circumferència d, i en lloc del valor 3 pel radi, escrius 2+2/factor. (2 és el radi de la primera circumferència, i 2/factor és el de la segona, la que gira)
- Anem a les propietats del punt A', i allà on indica l'angle de rotació (ha d'haver-hi 2 α) hi escrius factor α.
- Si mous el punt lliscant, aniran apareixent les diferents epicicloides (a cada lòbul se l'anomena pètal).
|