Plimpton 322

 

Aquesta és la tauleta Plimpton 322, coneguda així per ser la tauleta número 322 de la col·lecció de G.A. Plimpton de la Universitat de Columbia.

Font: en.wikipedia.org

Una anàlisi detallada d'aquests símbols, revela que la grafia de la quarta columna és simplement el número de la fila, les de les columnes segona i tercera són un catet i la hipotenusa d'un triangle rectangle, i la de la primera columna és la raó entre la hipotenusa i l'altre catet. De fet, la traducció dels encapçalaments és, de dreta a esquerra, "el nom", la diagonal, l'amplada, i l'últim no queda clar, tot i que esmenta la diagonal.

És evident que hi ha files que estan malmeses, i que no tenen tots els símbols, com de la 1 a la 4 pel costat esquerre, la 5 i la 6 pel costat dret, i la 14 i la 15 pel costat dret també (aquests últims, però, només han perdut el número de la fila, i per tant es poden interpretar completament).

Aquesta és una reproducció dibuixada de la tauleta:

Font: www.cdli.ucla.edu/dl/lineart/P254790_l.jpg

Transcrivint els símbols, obtenim (entre la tercera i la quarta columnes hi ha sempre el mateix signe, per la qual cosa s'interpreta com un separador):

43;11;56;28;26;40 38;11 59;1 7
41;33;59;3;45 13;19 20;49 8
38;33;36;36 9;1 12;49 9
35;10;2;28;27;24;26;40 1;22;41 2;16;1 10
33;45 45 1;15 11
29;21;54;2;15 27;59 48;49 12
27;espai;3;45 7;12;1 4;49 13
25;48;51;35;6;40 29;31 53;49 (14)
23;13;46;40 56 53 (15)

Trascribeixo els valors de la segona i la tercera columnes a format decimal:

columna 1 amplada diagonal fila
43;11;56;28;26;40 2291 3541 7
41;33;59;3;45 799 1249 8
38;33;36;36 541 769 9
35;10;2;28;27;24;26;40 4961 8161 10
33;45 45 75 11
29;21;54;2;15 1679 2929 12
27;espai;3;45 25921 289 13
25;48;51;35;6;40 1771 3229 (14)
23;13;46;40 56 53 (15)

Els resultats obtinguts s'identifiquen amb valors de ternes pitagòriques, tret dels de les files 9, 13 i 15:

  • A la línia 9 hi ha un error probablement tipogràfic: 12;49=769 i 9;1=514 no són una terna pitagòrica, però 12;49=769 i 8;1=481 si. Possiblement va fer una marca de més.
  • A la línia 13, 7;12;1=25921 no pot ser l'amplada si la diagonal és 4;49=289, ni tampoc si la diagonal s'interpreta com 17340; podria ser-ho si s'interpretés com 1040400, però aleshores tampoc no és una terna pitagòrica. En canvi, 25921 és 1612, i 161 i 289 si són terna pitagòrica.
  • A la línia 15, és obvi que 53 no pot ser la diagonal si l'amplada és 56, però si admetem que en contes de 53 hi va el seu doble, aleshores si que és una terna pitagòrica.

Amb aquestes consideracions, els valors interpretats en format decimal serien (he incorporat una columna amb el valor que faltaria de la terna pitagòrica):

columna 1 altura amplada diagonal fila
43;11;56;28;26;40 2700 2291 3541 7
41;33;59;3;45 960 799 1249 8
38;33;36;36 600 481 769 9
35;10;2;28;27;24;26;40 6480 4961 8161 10
33;45 60 45 75 11
29;21;54;2;15 2400 1679 2929 12
27;espai;3;45 240 161 289 13
25;48;51;35;6;40 2700 1771 3229 (14)
23;13;46;40 90 56 106 (15)

Alguns autors asseguren que a davant del valor escrit a la primera columna de les files 10, 11, 12 i 14 hi ha una marca vertical, de valor unitat (jo no la he sabut veure). De la mateixa manera, se suposa que falta aquesta marca a totes les altres files, donat que així lliga la interpretació. És raonable pensar que una col·lecció de marques verticals pràcticament aliniades facilitessin la ruptura de la tauleta per aquest lloc.

Assumint aquestes marques amb la unitat, podem comprovar que la primera columna correspon al quadrat del quocient entre el valor de la diagonal i valor de l'altura (que sortiria de fer l'arrel de la diferència entre el quadrat de la diagonal i el quadrat de l'amplada, segons el teorema de Pitàgores).

(diagonal/altura)2 altura amplada diagonal fila
1,719983676 2700 2291 3541 7
1,692773438 * 960 799 1249 8
1,642669444 600 481 769 9
1,586122566 6480 4961 8161 10
1,5625 60 45 75 11
1,48941684 2400 1679 2929 12
1,450017361 240 161 289 13
1,43023882 2700 1771 3229 (14)
1,387160494 90 56 106 (15)
* A la fila 8, el valor sexassimal excedeix en 0,00006401959 el valor del quocient, cosa que representa un error inferior al 0,004%.

Per tant, per si aquesta interpretació és correcta, vol dir que cap al segle XVIII aC coneixien com trobar un costat d'un triangle rectangle a partir dels altres dos i que a més ja feien servir relacions entre costats, qua avui en dia anomenem raons trigonomètriques (en aquest cas estarien trobant la cosecant al quadrat).

 

 

 

Anar a la pàgina d'Idees Anar a la pàgina inicial

 

Copyright © Jaume Serra Nogués, 2006-2014.

Teniu permís per a copiar, distribuir, i/o modificar aquest document en les condicions de la Documentació Lliure del GNU, versió 1.1 o qualsevol posterior publicada per la Fundació per al Programari Lliure (Free Software Foundation) http://www.gnu.org/licenses.