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CURSO 2004-2005. PROBLEMAS EN LA WEB (1)    

 


1.- El primer problema que proponemos corresponde a la felicitación de Navidad que elaboró el profesor Ignasi del Blanco, que la organización de Estalmat en Catalunya ha "adoptado" como suya. Ya sabéis que los criptogramas/problemas numéricos son muy difíciles de traducir.

Así pues: Molt bon any nou! = ¡Muy feliz año nuevo!

Se trata de encontrar el valor de la cifra que corresponde a cada letra en la suma siguiente, teniendo en cuenta que letras diferentes tienen valores diferentes y que para algunas de las letras se indica la ordenación de menor a mayor.

    

Parece mentira, pero sólo hay una solución! A ver si la encuentras y expliques el procedimiento seguido junto con un razonamiento que justifique por qué la solución es única.


2.- a) Se trata de que demuestres que si, a partir de un rectángulo ABCD que mide 401 unidades de área se alargan los lados, todos "en la misma dirección" hasta que la longitud sea el doble de la inicial y se unen los puntos que resultan, de esta manera se ha construido un cuadrilátero de 2005 unidades de área.

Puedes ver una aplicación hecha con la calculadora en línea Wiris que te permitirá mover los puntos A, B, C, D y actualizará determinadas informaciones. Con toda seguridad esto te ayudará a conjeturar y, quizás, a demostrar lo que se propone en el apartado a)... y aún más lo que te pedimos que estudies a continuación.

b) ¿Qué sucede si la figura central en lugar de un rectángulo es un paralelogramo cuya superficie son 401 unidades de área? Di cuál es tu conjectura y redacta una demostración.

c) Finalmente: ¿qué pasa si la figura central es un cuadrilátero cualquiera cuya superficie mide 401 unidades de área? Seguro que sabrás formular una conjetura para responder a la pregunta. La demostración no es muy fácil, pero si alguien la encuentra... ¡seguro que saldrá en el cuadro de honor de esta página!


3.- Ahora puedes activar la calculadora en línea Wiris y escribir 2005!. Seguramente ya sabes que 2005! es el resultado de multiplicar 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 2003 · 2004 · 2005. Este es un número muy largo, ¡pero mucho!. No os pregunatremos cuántas cifras tiene.

Puedes escribir factorizar(2005!) y ello te permitirá observar que la descomposición empieza 21997·... .

Te pedimos que expliques cómo se puede razonar que, efectivamente, en la desocmposición en factores primos de 2005! aparecen 1997 factores iguales a 2.

Y a continuación que razones (a la vista de la descomposición en factores que has podido leer) en cuántos ceros acaba 2005!