A(x)=x exp(-x2)es la función
B(x)=(1-2x2)exp(-x2). Aunque estas operaciones son complicadas de hacer, la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su derivada es muy simple: la altura de la curva derivada es la pendiente de la otra curva. En concreto, si la función crece, su derivada es positiva, y si disminuye, su derivada es negativa.
Por poner un ejemplo, en este dibujo la función B (azul) es la derivada de la función A (roja). Para entender la relación conviene rascar con el ratón encima de la gráfica: cuando la B es positiva (cuando la letra B está por encima del eje horizontal) la A correspondiente está en un tramo de la curva roja que sube.
Cuando la B es negativa, la A está en un tramo de bajada.
Cuando la B pasa por el eje horizontal, la A está en un punto en que la curva es casi horizontal.
Y para averiguar en qué punto la curva A es más empinada, sólo tenemos que rascar hasta que la B quede lo más arriba posible.
La misma relación entre dos curvas
se ve un poco más clara en este otro dibujo.
Aquí la curva de arriba (la línea negra escalonada) es la derivada
de
la curva de abajo (la quebrada). Moviendo la bolita amarilla
de arriba
veremos que la altura de la escalonada
en un punto
(está marcada con una
línea blanca)
es igual a la pendiente de la quebrada
(la pendiente está marcada con otra
línea blanca).
En este dibujo sólo se pueden poner funciones escalonadas.
Para cambiar la función, hay que rascar despacito en la parte de abajo,
empezando por la izquierda.
Hay otra manera de explicar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica
de su derivada.
Consiste en decir que
la subida de la gráfica
de la función de abajo (esta subida está marcada con una flecha)
entre dos puntos
(del punto verde al punto amarillo)
es igual
al área que intercepta
la gráfica de su
derivada (la función de arriba) entre
esos puntos.
Más fácil: la relación entre las dos curvas es que la longitud de la flecha de abajo siempre es igual al área pintada de arriba.
Esto es otra manera de decir lo mismo que decíamos antes con lo de las pendientes.
Nota: cuando la derivada está bajo cero,
las áreas se cuentan negativas. En el dibujo las áreas negativas están pintadas de azul.
Desde luego, sólo se verán áreas azules arriba
si abajo dibujamos una función que baje.