Algunes activitats d'estadística i probabilitat amb la Wiris

>>

Continguts (conceptes i procediments)

Freqüències

Aquesta secció consta dels apartats següents:

• Tipus de freqüències:
  • Freqüències absolutes (n_i)
  • Freqüències relatives (f_i)
  • Freqüències absolutes acumulades (N_i)
  • Freqüències relatives acumulades (F_i)
• Taules de freqüències
• Activitats

Si una variable aleatòria X pot prendre diversos valors x_i, el nombre de vegades que apareix cada un d'aquests valors en l'estudi estadístic és la seva freqüència absoluta, que se simbolitzarà per n_i.

• Quan es treballa amb variable aleatòria quantitativa contínua es fa una agrupació de les dades en intervals de classe consecutius que cobreixen tot el ventall de valors diversos de X. Dintre de cada interval es defineix la seva marca de classe (simbolitzada per x_i), que és el punt mitjà de l'interval i serà la representant dels valors que caiguin en aquest interval. Llavors, tots els valors de la variable que cauen dintre del mateix interval es considera que són iguals a la marca de classe a efectes de recomptes per a determinació de freqüències absolutes i relatives. Per comoditat, generalment els intervals de classe es fan de la mateixa amplitud (gairebé en tots els estudis estadístics).
• Quan es treballa amb una variable aleatòria quantitativa discreta que pren molts valors diferents també es fa una agrupació de les dades en intervals de classe, de manera anàloga a com s'ha explicat abans.

Freqüències relatives (f_i)

Si el total d'observacions és N, la fracció f_i=n_i/N representa el tant per un de vegades que apareix el valor x_i en l'estudi estadístic i s'anomena freqüència relativa del valor x_i. La freqüència relativa també se sol expressar en %.

Freqüències absolutes acumulades (N_i)

Per a variables estadístiques quantitatives podem definir la freqüència absoluta acumulada del valor x_i com el nombre de vegades que la variable X apareix en l'estudi estadístic amb un valor menor o igual que x_i, i se simbolitza per N_i.

En el cas de variable aleatòria quantitativa contínua (o variable aleatòria discreta que pren molts valors diferents) el que interessa és la freqüència absoluta acumulada de cada interval de classe i, per tant, la Ni és, en aquest cas, el nombre de vegades que la variable aleatòria X apareix amb un valor que està en l'interval corresponent a la x_i o en un interval que té una x_i inferior.

Freqüències relatives acumulades (F_i)

Per a variables estadístiques quantitatives podem definir la freqüència relativa acumulada com la fracció F_i=N_i/N, que representa el tant per un d'observacions en què la variable estadística X apareix amb un valor menor o igual que x_i. També se sol expressar en %.

En el cas de variable aleatòria quantitativa contínua, F_i és el tant per un d'observacions en què la variable estadística X pren un valor que està en l'interval corresponent a x_i o en un interval que té una x_i inferior.

Taules de freqüències

Com hem comentat en una secció anterior s'acostuma a presentar les dades en forma de taules després de fer el recompte de vegades que apareix cada valor de la variable. A continuació es presenten diversos exemples on apareix una taula amb les columnes adients perquè apareguin les freqüències absolutes i les relatives (i, quan és possible, també les absolutes acumulades i les relatives acumulades):

• En l'exemple que vam posar en aquella secció els valors de la variable estadística quantitativa discreta eren 5, 8, 5, 2, 8, 8, 3, 5, 2, 4, 8, 9, 3, 7, 8, 2. Després de l'ordenació i el recompte, la taula, amb tots els tipus de freqüències, quedaria:

xi	ni	fi	Ni	Fi
2	3	3/16=0,1875	3	3/16=0,1875
3	2	2/16=1/8=0,125	5	5/16=0,3125
4	1	1/16=0,0625	6	6/16=3/8=0,375
5	3	3/16=0,1875	9	9/16=0,5625
7	1	1/16=0,0625	10	10/16=5/8=0,625
8	5	5/16=0,3125	15	15/16=0,9375
9	1	1/16=0,0625	16	16/16=1
Totals-->	N==16	=16/16=1

• Si es disposa d'una variable quantitativa contínua com per exemple, el volum de refresc que posa en cada botella una màquina envasadora durant el temps que necessita per fabricar 10 botelles, convé agrupar les dades en intervals de classe i determinar la marca de classe corresponent a cada interval. Quan això estigui fet comptarem quants valors de la variable cauen en cada interval i aquest nombre de vegades serà la freqüència absoluta d'aquell interval. Suposem que els volums esmentats (en litres) són: 0,35; 0,362; 0,351; 0,34; 0,327; 0,36; 0,333; 0,372; 0,34; 0,33. Després d'ordenar tindríem: 0,327; 0,33; 0,333; 0,34; 0,34; 0,35; 0,351; 0,36; 0,362; 0,372. Si agafo 4 intervals de 0,0114 litres d'amplitud el recompte produiria aquests resultats:

  Interval	Marca de classe xi	ni	fi	Ni	Fi
  [0'3267, 0'3381)	0,3324	3	3/10=0,3	3	3/10=0,3
  [0'3381, 0'3495)	0,3381	2	2/10=0,2	5	5/10=0,5
  [0'3495, 0'3609)	0,3438	3	3/10=0,3	8	8/10=0,8
  [0'3609, 0'3723)	0,3495	2	2/10=0,2	10	10/10=1
  Totals-->		N==10	=1

  La columna de les f_i ens diu que el volum posat en cada botella està entre 0'3381 L i 0'3495 L en un 20% de les ocasions. La columna de les F_i ens diu que el 80% dels casos la màquina ha posat menys de 0,3609 L..

• En el cas de variable qualitativa generalment no té sentit ordenar els valors de la variable aleatòria. Per aquest motiu, no té sentit calcular freqüències acumulades. Si considerem la variable aleatòria partit polític que cada persona ha votat en una certa localitat en les passades eleccions i els resultats són els següents: Democràcia per a tothom (DPT), 1700 vots; Llibertat absoluta (LA), 2000 vots; Tots contents (TC), 1300 vots, la taula quedaria així:

  Partit	ni	fi
  DPT	1700	1700/5000=0,34
  LA	2000	2000/5000=0,4
  TC	1300	1300/5000=0,26
  Totals-->	N==5000	=1

És a dir, DPT obté el 34% dels vots, LA obté el 40% i TC el 26%.

Activitats

• act0004.html. Freqüències.