A l'activitat anterior has dibuixat les funcions de proporcionalitat directa que tenen per gràfica una recta, totes les rectes corresponents a aquestes funcions passen per l'origen de coordenades, ara veurem quina expressió correspon a les funcions que tenen per gràfica una recta qualsevol i quina mena de relació presenten les variables.

Imagina't que al Cybercentre a més de cobrar-te 2 € per hora de connexió et diuen que cal fer-te soci i això val 3 €, aleshores la taula de l'import segons les hores de connexió resulta la següent:

En aquest cas les dues magnituds no són proporcionals, però igual que abans l'increment de la variable E és constant. L'equació que permet passar d'hores a euros és E = 2H + 3

A la relació anterior se l'anomena funció de primer grau, s'escriu de la forma y = 2x + 3 i la seva gràfica és una recta. En l'exemple, x només pren valors positius, en general x pren qualsevol valor real positiu.

Anem a representar aquesta recta juntament amb y = 2x, la de l'exercici anterior. Comprova que la recta y = 2x + 3 no passa per l'origen de coordenades sinó pel punt (0,3) i que les dues rectes tenen la mateixa inclinació.

RECORDA: Has de premer la icona de dins la finestra.

L'equació general de les funcions de primer grau és y = m x + n on m representa l'augment de la variable y, per cada unitat de la variable x, m s'anomena igual que abans el pendent i mesura la inclinació de la recta , n indica el punt (0,n) en què la recta talla l'eix d'ordenades i s'anomena ordenada a l'origen.

Si (x1,y1) i (x2,y2) son dos punts qualsevols de la recta el valor del pendent es pot obtenir a partir del quocient incremental:

Observa geomètricament aquest fet amb el gràfic que obtindràs en activar la següent finestra:

Les funcions del tipus y = f(x) = m x + n amb el mateix valor del pendent m corresponen a rectes paral·leles. Anem a dibuixar unes quantes rectes paral·leles de pendent 3, observa com varia en l'equació el valor de l'ordenada a l'origen n, i els punts de tall de cada recta amb l'eix d'ordenades.

Prem i a la finestra gràfica que s'obté mou el punt A per l'eix d'ordenades, activa l'opció Valor, acosta el ratolí al punt A i a la recta, i compara les coordenades del punt amb l'equació de la recta.

Els punts d'intersecció o de tall de cada recta amb els eixos es calculen a partir de l'equació de la recta, es diu que això és una forma analítica de càlcul. Per exemple, en l'equació y = 2x + 3, al substituir la x per 0 resulta y = 3, tenim el punt (0,3) com punt d'intersecció amb l'eix d'ordenades, i al substituir la y per 0 resulta x = -3/2, el punt (-3/2,0) és el d'intersecció amb l'eix d'abcisses.

Activa la finestra i després de prémer Valor, acosta el ratolí a cada punt de tall amb els eixos.

Representa després la recta y = 3x - 6 i comprova que els punts de tall amb els eixos són (0,-6) i (2,0)

A partir de dos punts queda definida una recta i es busca la seva equació. De forma gràfica només s'ha de calcular el valor del pendent m i el de l'ordenada a l'origen n.

Activa la finestra següent i determina l'equació de la recta que passa pels punts A = (2,3) i B = (3,7). Per això busca el quocient incremental i l'ordenada a l'origen. Comprova que la recta és la que passa pels punts A i B, afegeix a la darrera fila de la finestra, dins del mateix , la instrucció representa (mx+n) amb els valors corresponents de m i n que hagis trobat.

Si ho has calculat bé es dibuixarà una recta de color negre per sobre de la vermella.

El càlcul analític equivalent consisteix en substituir a l'equació de la recta y = m x + n els valors x i y per les coordenades dels punts A i B, amb això obtindràs un sistema de dues equacions amb dues incògnites, la m i la n, que caldrà que resolguis. En aquest cas resulta molt fàcil restar les dues equacions i aïllar primer el valor de m, i després el de n.

La calculadora WIRIS resol sistemes d'equacions, observa de quina forma i utilitza-la per comprovar els teus resultats:

Si dues rectes tenen diferent pendent no són paral·leles, llavors es tallen en un punt. El punt d'intersecció es visualitza amb la finestra gràfica de la calculadora. Utilitza si et convé.

La resolució analítica consisteix en resoldre el sistema format per les equacions de les dues rectes. Igual que abans ara has de resoldre el sistema, en aquest cas les incògnites són x i y, i la forma més ràpida consisteix en igualar els valors de y, aïllar la x i finalment trobar y.

Un cop hagis resolt el sistema comprova que les solucions corresponen a les coordenades del punt d'intersecció i per acabar resol el sistema amb la calculadora WIRIS.

Per realitzar més càlculs accedeix a la calculadora des de l'escriptori de l'edu365.com o bé directament. Al menú Operacions trobaràs les opcions resol equació i resol sistema que et permetran resoldre tot tipus d'equacions i sistemes.

Si t'interessa saber més detalls sobre la calculadora WIRIS consulta les ajudes que porta: la Documentació o la Guia Ràpida.