|
La relació de dependència entre dues variables pot
venir donada per una expressió de segon grau
de la forma
y = ax2 + bx + c, en aquest cas la gràfica
resulta una corba que s'anomena paràbola,
ara veuràs un exemple de funció quadràtica
i estudiaràs les característiques concretes d'aquesta
gràfica
L'àrea d'un quadrat depèn de la longitud del seu
costat, si x
representa aquesta longitud i y
representa l'àrea, l'expressió y
= x2 expressa la relació entre la longitud
del costat i l'àrea, en aquest exemple x
només pren valors positius.
|
Longitud
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
20
|
|
Àrea
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
36
|
49
|
64
|
81
|
100
|
400
|
Aquesta relació entre magnituds és quadràtica:
els valors de la segona fila són els corresponents quadrats
dels valors de la primera. Si mires l'increment de la segona fila
veuràs que no és constant, com en una relació
lineal, sinó que cada cop creix més. Els increments
en aquest cas són 3, 5, 7, 9, ... és a dir que la
funció creix molt més ràpidament.
| Gràfica
de la funció quadràtica |
La funció y
= x2 correspon a la funció quadràtica
o de segon grau més senzilla, s'anomena
paràbola
i la seva gràfica té uns trets característics:
- Té un punt mínim anomenat vèrtex
en el punt (0,0),
es considera un punt
singular
- L'eix d'ordenades, és a dir, la recta
x
= 0 és l'eix
de simetria
Les funcions que tenen l'eix d'ordenades
com eix de simetria és diu que tenen simetria
parella i verifiquen la propietat f(x)
= f(-x)
Prem la icona 
de dins la finestra i comprova les propietats de la funció
y =
x2
Si l'equació de la paràbola és de la forma
y =
ax2, en variar el valor del paràmetre
a
canvia la forma de la paràbola:
- Si a>0
les branques van dirigides cap amunt i s'anomena paràbola
còncava
- Si a<0
les branques van dirigides cap avall i s'anomena paràbola
convexa
- A mesura que el valor absolut de a
augmenta la paràbola es tanca i a mesura que aquest valor
disminueix la paràbola s'obra.
- Les gràfiques de y
= ax2 i y
= -ax2 són simètriques
respecte l'eix d'abcisses.
Comprova aquestes característiques en representar el següent
conjunt de paràboles. Després de prémer la
icona i obtenir la
finestra gràfica, acosta el cursor a les paràboles
amb l'opció Valor
activada, i veuràs l'equació que correspon
a cadascuna.
| Translació
vertical de la paràbola |
La taula de valors de la funció y
= x2 - 3 s'obté restant 3
unitats de la de la funció y
= x2:
|
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
20
|
|
y
= x2
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
36
|
49
|
64
|
81
|
100
|
400
|
|
y
= x2 - 3
|
-2
|
1
|
6
|
13
|
22
|
33
|
46
|
61
|
78
|
97
|
397
|
Els gràfics de les dues funcions tenen la mateixa forma
i el mateix eix de simetria però la paràbola y
= x2 - 3 està desplaçada 3
unitats cap avall respecte y
= x2, el vèrtex en aquest cas és
el punt (0,
-
3) i
l'eix de simetria és la recta x
= 0
Activa la finestra:
En general, el gràfic de la funció y
= ax2 + c s'obté fent una translació
de c
unitats, cap amunt o cap avall segons el signe, de la funció
y =
ax2. El vèrtex
de la paràbola és (0
, - c) i l'eix
de simetria la recta
x = 0
| Translació
horitzontal de la paràbola |
La taula de valors de la funció y
= (x - 3)2 és la mateixa que
la de y
= x2 però amb un retard de 3
unitats respecte x:
|
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
y
= x2
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
36
|
49
|
64
|
81
|
100
|
121
|
|
y
= (x - 3)2
|
4
|
1
|
0
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
36
|
49
|
64
|
Els gràfics de les dues funcions tenen la mateixa forma
però la paràbola y
= (x - 3)2 està desplaçada 3
unitats cap a la dreta respecte y
= x2, el vèrtex en aquest cas és
el punt (3,
0) i l'eix de simetria la recta x
= 3
Activa la finestra:
En general, el gràfic de la funció y
= a(x - c)2 s'obté fent una translació
de c
unitats, cap a la dreta o cap a l'esquerra segons el signe, de la
funció y
= ax2. El vèrtex de la paràbola
és (c
, 0) i l'eix
de simetria
la recta
x = c
| Translació
en qualsevol direcció de la paràbola |
En el cas de les translacions verticals el vèrtex de la
paràbola es mou per l'eix d'abcisses i en el cas de les horitzontals
el vèrtex es mou per l'eix d'ordenades. Si es fa una translació
horitzontal i després una de vertical el vèrtex de
la paràbola es mou per tots els punts del pla.
La paràbola y
= (x - 2)2 + 4
està desplaçada
2 unitats cap a la dreta
i 4
unitats amunt respecte
y = x2, el vèrtex
és el punt (2,
4) i l'eix de simetria la recta x
= 2
Activa la finestra:
En general, el gràfic de la funció y
= a(x - p)2 + q s'obté fent una translació
de p
unitats, cap a la dreta o cap a l'esquerra segons el signe, i de
q
unitats cap amunt o cap avall, segons els signe, de la funció
y =
ax2. El vèrtex de la paràbola
és (p
, q), l'eix
de simetria
la recta
x = p
Utilitza la calculadora WIRIS per representar diferents paràboles.
A la finestra gràfica acosta't o allunya't amb les icones
 
, mou-te per la finestra amb la icona 
activada, prem  per
redibuixar la funció. Observa de cada paràbola la
seva forma i el seu vèrtex.
Per realitzar més gràfics utilitza les finestres
de l'Activitat o bé accedeix a la calculadora des de l'escriptori
de l'edu365.com
o bé directament.
|
