Si entre dues magnituds existeix una relació inversa, és a dir, si quan una d'elles augmenta l'altra disminueix en la mateixa proporció, s'anomenen magnituds inversament proporcionals. Veuràs un exemple d'aquesta relació i les característiques de la gràfica associada a aquest tipus de relacions.

Un grup de noies i nois aficionats a la informàtica estan preparant là pàgina web d'una associació. Han calculat que treballant en grups de 3 necessiten 4 hores per enllestir una pàgina, contant fer fotografies, redactar els textos i muntar la pàgina. El temps se'ls tira a sobre però tampoc volen ser una multitud. Per això fan una taula que relacioni el nombre de persones i les hores que els calen per fer una pàgina:

Si augmenta el número de persones del grup disminueix el nombre d'hores i si disminueix el nombre de persones augmenta el nombre d'hores. El producte de les persones per les hores és sempre 12. Si anomenem x a les persones i y a les hores, la relació s'expressa de la forma xy = 12. Es diu que les dues magnituds son inversament proporcionals.

De l'exemple anterior aïllant y s'obté la funció y = 12/x, en aquest cas concret la funció només té sentit per valors sencers i positius de x, perquè x representa el nombre de persones. En general la funció y = k/x s'anomena de proporcionalitat inversa té per gràfica una hipèrbola .

Per veura la gràfica de la hipèrbola activa amb la icona la següent finestra de la calculadora

Observa que en aquest cas assignarem a f(x) el valor 12/x i després representarem f(x). Això ens permetrà calcular les imatges de diferents valors de f(x). La calculadora treballa de forma exacta, si vols obtenir l'aproximació decimal d'algun resultat afegeix un punt al final com en l'exemple de la finestra.

Els trets caràcterístics d'aquesta gràfica són:

• El valor 0 no és del domini de la funció
• Les imatges f(x) disminueixen a mesura que x augmenta en valor absolut, el gràfic es va acostant a l'eix d'abcisses. Per valors molt petits de x la y pren valors molt grans, el gràfic es va acostant a l'eix d'ordenades. Els eixos s'anomenen asímptotes de la funció.
• La funció té una simetria central o imparella perquè f(x) = - f(-x), és a dir els valors x i -x tenen les mateixes imatges però canviades de signe.

Per observar la simetria, activa la següent finestra:

Si l'equació de la hipèrbola és de la forma y = k/x, en variar el valor del paràmetre k canvia la seva forma:

• Si k>0 les branques de la hipèrbola són al 1r i 3r quadrant i la funció és decreixent.
• Si K<0 les branques de la hipèrbola són al 2n i 4t quadrant i la funció és creixent.
• A mesura que el valor absolut de k augmenta la hipèrbola s'allunya dels eixos de coordenades
• Les gràfiques de y = k/x i y = -k/x són simètriques respecte els eixos de coordenades.
  

Comprova aquestes característiques en representar els següents conjunts de hipèrboles. Després de prémer la icona acosta el cursor a les paràboles amb l'opció Valor activada, i veuràs l'equació que correspon a cadascuna.

De forma similar a com hem fet amb la funció quadràtica, anem a veure com es desplaça la hipèrbola pel pla, com varia la seva equacio i les asímptotes.

Observa en la següent taula com el desplaçament vertical equival a sumar un valor a la variable x, i el desplaçament vertical a sumar un valor a la funció.

Funció	Forma equivalent	Asímptotes
		x = 2 y = 0
		x = 0 y = 1
		x = -1 y = 3

Fes servir les icones de la finestra gràfica per observar les asímptotes i comprovar el desplaçament de les hipèrboles de la taula anterior:

Per realitzar més gràfics utilitza les finestres de l'Activitat o bé accedeix a la calculadora des de l'escriptori de l'edu365.com o bé directament.