TEMA 4 (tema 6 llibre
pàgina 67)
CAPITALITZACIÓ COMPOSTA
4.1 RELACIÓ INTERÈS SIMPLE, INTERÈS COMPOST
La diferència entre l’interès
simple i compost es que al compost es fa una reinversió dels interessos
produïts, o sigui passen a formar part
del capital inicial.
Recordem la fórmula de l’interès simple:
C i n
I = ------------
D
Cn = C
+ I
Exemple: 1000 euros invertits a 3 anys al 5% Quan obtindríem amb interès simple ? I si ho
fem amb interès compost ?
a)
INTERES SIMPLE
1000.3.5
I = ------------ = 150
100
Cn = C
+ I = 1000+150= 1150
b)
INTERÈS COMPOST
(Cada any es reinverteixen els interessos) Ho farem any a any
1r any
1000.1.5
I = ------------ = 50 interessos
100
Cn = C
+ I = 1000+50= 1050
2n any
Capital inicial nou =1050
1050.1.5
I = ------------ = 52,5 interessos
100
Cn = C
+ I = 1050+52,5= 11102,5
3r any
Capital inicial nou =1102,5
1102,5.1.5
I = ------------ = 55,125 interessos
100
Cn = C
+ I = 1102,5+55,125= 1157,625
LA DIFERÈNCIA ENTRE L’INTERÈS
SIMPLE I COMPOST SÓN 7,62 EUROS
Exercici
Calcula el capital final si invertim 2000 euros al 3%
durant 4 anys
A)
interès
simple
B)
interès
compost
C)
quin
ens interessa més
4.2 INTERÈS COMPOST
Però si temin molts anys hauríem
de fer el càlcul moltes vegades per tant necessitarem una fórmula ( demostrada
al tema 6 pàgina 57) i que serà la
següent:
Cn = C0 (1+i)n Cn -
C0 =I
Cn és el capital final C0 És el capital inicial
.i és el tant per un n el temps en anys
I és l’interès
El mateix exemple: 1000 euros
invertits a 3 anys al 5% Quant obtindríem
amb interès compost ? Troba l’interès
Cn = C0 (1+i)n Cn -
C0 =I
Cn
= 1000 ( 1 + 0’05)3 = 1000 . 1’15762 = 1157’62
I= 1157’62 – 1000= 157’62
4.3
BUSQUEM EL CAPITAL INICIAL
També se’n hi diu actualització composta o descompte compost, ja
que portem el Cn al moment 0
Aïllarem de la fórmula C0
Cn
C0= ____________
(1+i)n
Exemple: Troba quants diners vam invertir durant 4 anys al 5% si ens vam emportar 3456.27 euros. I quin interès vam obtenir.
C0 = ?
Cn = 3456,27
i = 0,05
n= 4
I=?
3456,27
3456,27
C0= ____________ =
________________ = 2843,48
(1+0,05)4 1,21550625
I= 3456,27- 2843,48 =612,79
4.4
BUSQUEM
EL TANT
Aïllarem i de la fórmula inicial
Cn
(1+i)n = ____
l’operació inversa a la potència
és l’arrel
C0
1+i =
i= - 1
Exemple: Fer exercici 7 pàgina 76
4.5
BUSQUEM
EL TEMPS
Cn
(1+i)n = ____
apliquem logaritmes per aïllar
n
C0
ln (1+i)n = ln _
Cn apliquem les
propietats de logaritmes
C0
.n . ln (1+i) = ln Cn - ln C0
.n = ln Cn - ln C0
ln (1+i)
Exemple: Fer exercici 9 pàgina 76
4.6
CAPITALITZACIÓ FRACCIONADA
Quan el període de capitalització no és l’anual: mensual, trimestral,
semestral,...... o sigui utilitzem i12
, i4 , i2
....
La fórmula serà la següent:
Cn = C0
(1+im)n.m
Exemple b pàgina 74 llibre
4.7
TAE
TAXA ANUAL EQUIVALENT
També anomenat efectiu és el tipus d’interès que ens permetrà comparar
entre diferents tants, i és el realment aplicat.
Ens serveix per resoldre problemes com el de l’exemple.
En un banc en el que hem invertit 5000E durant 2 anys a interès compost,el director ens pregunta quin tant volem el 12% anual (i), o el 3% trimestral (i4)
Ho calculem
Cn = 5000 (1+0,12)2 = 6272
Cn = 5000 (1+0.03)2.4
= 6333
Sembla que el més raonable és que demanem el 3% trimestral ja que ens
portarà més interessos.
Com em vist a l’exemple els tipus d’interès poden ser molt enganyosos la
llei obliga a que totes les inversions
s’especifiqui el TAE .
Quin serà el TAE dels dos tants? Suposarem 1 euro a una any invertit
12% anual (i),
(1+TAE)= (1+0,12)1
TAE= 1+0,12 -1 = 0,12 =12% coincideixen
el 3% trimestral (i4)
(1+TAE)= (1+0,03)1.4
TAE= 1,1255 -1 = 0.1255= 12,55%
Per tant per calcular el TAE
(1+TAE)= (1+im)n.m
TAE = (1+im)n.m- 1
Mireu de l’exemple 10 l’apartat a de la pàgina 74
ANIREM FENT TOTS ELS EXERCICIS DE LES PÀGINES 76 I 77
EXERCICIS INTERÈS COMPOST repàs per l’examen
amb la solució
1 Vam invertir 5000 euros al 5% d’interès compost durant 7 anys. Quants diners obtindrem passat aquest temps? Quant haurem guanyat
Co =
.n=
.i=
Cn = 7035,5
I= 2035,5
2 Vam invertir 5000 euros al 6% d’interès compost capitalitzable trimestralment durant 7 anys. Quants diners obtindrem passat aquest temps? Quant haurem guanyat?
Co =
.n=
.i=
.i_ =
Cn = 7586,1
I= 2586,1
3 Vam invertir uns diners a 7 anys al 4,5% d’interès compost i al final hem obtingut 3567,65 euros. Troba el capital inicial.
Co = 2621,61
.n=
.i=
Cn =
I=
4 Quant temps vam tenir invertits 3000 euros al 5% d’interès compost si ens van tornar 4500 euros. Passar-ho a anys, mesos i dies?.
Co =
.n= 8 anys 3 mesos i 21 dies
.i=
Cn =
I=
5 A quin tipus d’interès vam invertir 50.000 euros a 10 anys si ens van tornar 55.555,55?
Co =
.n=
.i= 10,59%
Cn =
I=
6 Troba els tipus que manquen al quadre (color taronja és l'enunciat)
nominal |
Efectiu mensual |
Efectiu trimestral |
Efectiu o TAE dels tres |
12% |
.i12= 1% |
.i4= 3% |
TAE= 12% TAE= 12’68% TAE= 12’55% |
6% |
.i12= 0,5% |
.i4= 1’5% |
TAE=6% TAE=6,16% TAE=6,13% |
9% |
0,75% |
.i4= 2,25% |
TAE=9% TAE=9,38% TAE=9,3% |
8% |
.i12= 0,666% |
2% |
TAE=8% TAE=8,29% TAE=8,24% |
16% |
.i12= 1’333% |
.i4= 4% |
TAE=16% TAE=17,22% TAE=16,98% |
3’6% |
0,3% |
.i4= 0,9% |
TAE=3,6% TAE=3,65% TAE=3,64% |
4% |
.i12= 0,333% |
1% |
TAE=4% TAE=4,07% TAE=4,06% |
24% |
.i12= 2% |
.i4= 6% |
TAE=24% TAE=26,82% TAE=26,25% |