Els Elements estan dividits en tretze llibres o capítols, dels quals la primera mitja dotzena són sobre geometria plana elemental, els tres següents sobre teoria de nombres, el llibre X sobre inconmensurables i els tres últims principalment sobre geometria dels sòlids.

La major part de les propostes del llibre I dels Elements son ven coneguts per qualsevol que hagi seguit un curs de geometria a nivell de ensenyança mitja. Entre elles estan els coneguts teoremes sobre congruència de triangles, sobre les construccions elementals amb regla i compàs, sobre les desigualtats a angles i costats de un triangle, sobre les propietats de les rectes paral·leles y dels paral·lelograms.

El llibre II es un dels mes curts, amb només 14 propostes, cap de les quals juga un paper en els llibres de text modern; en canvi, en la època de Euclides aquest llibre tenia una gran importància. Aquesta aguda discrepància entre els punts de vista antics i moderns es fàcil explicar: avui nosaltres tenim un àlgebra simbòlica i una trigonometria que han reemplaçat als seus equivalents geòmetres grecs.

Generalment es suposa que el contingut dels primeres llibres es en gran mesura obra de pitagòrics. Els llibres III i IV,  per altra banda, estan dedicats a la geometria del cercle i aquí el material suposa que va ser pres en la major part de Hipócrates de Chios. El contingut  de aquests dos llibres no es diferencia molt dels teoremes sobre cercles que contenen els llibres de text moderns. Per exemple, la primera proposta del llibre III demana construir el centre de un cercle donat, i la última, la proposta 37, és el conegut teorema que diu que si des de un punt exterior a una circumferència es raça una tangent i una sortint, llavors el quadrat construït sobre la tangent es igual al rectangle contingut per la sortint completa i el seu segment exterior. El llibre IV conté 16 propostes, la majoria d’elles molt familiars per a tots els estudiants moderns, relatives a figures inscrites a una circumferència. Els teoremes sobre mesura de angles s’aplacen fins que es disposi  d’una teoria de propostes ben establertes.

El llibre V tracta de temes de importància fundamental per a tota la matemàtica. El llibre comença amb unes quantes que son equivalents a coses com la propietat distributiva per la esquerra i per la dreta de la multiplicació respecte de la suma, la distributivitat per la esquerra de la multiplicació amb respecte a la resta i la propietat associativa de la multiplicació (ab)c = a(bc); a continuació venen les lleis que regeixen el “major que” i el “menor que” i les propietats ven conegudes de les proposicions.

En el llibre VI per demostrar teoremes relatius a raons i proposicions que es presenten al estudiar triangles, paral·lelograms i altres polígons semblants. Ens dóna una generalització del teorema de Pitàgores, conté també una generalització del mètode de aplicació de àrees aprofitant que les bases firmes per a la teoria de propostes establertes en el llibre V li permeten a l’autor fer us lliurement del concepte de semblança, i així els rectangles del llibre II son reemplaçats ara per paral·lelograms, i el que es demana és aplicar a un segment donat un paral·lelogram igual a una figura rectilínia donada i que sobresurti o quedi curt en un paral·lelogram semblant a altre costat.

El llibre VII comença amb una llista de 22 definicions, diferenciant varis tipus de nombres, par i impar, enter i compost, pla i sòlid (es a dir, el que es pot expressar com producte de dos o tes factors respectivament), i per últim la definició de nombre perfecte “com aquell que és igual a les seves pròpies parts”.

Comença amb dues propostes que constitueixen juntes una famosa regla de la teoria de nombres, que coneixem avui amb el nom de “algoritme de Euclides” per trobar el màxim comú divisor de dos nombres donats. Consisteix en un esquema que sugereix una aplicació inversa i repetida del axioma Eudoxo.

El llibre VIII es un dels menys interessants dels 13 dels Elements. Comença amb varies propostes sobre nombres en proporció continua (o en progressió geomètrica) i es dedica després a algunes propietats senzilles de els quadrats i els cubs, acabant amb la proposta 27.

El llibre XI, últim dels tres llibres sobre teoria de nombres, conté varis teoremes que tenen un interès especial. Entre ells el més celebrat es el que expressa la proposta 20 “els nombres prims son més que qualsevol quantitat fixada avanç que els nombres prims”, es a dir, Euclides dóna aquí la demostració elemental ven coneguda de que el nombre prim es infinit. La demostració és indirecta, ja que el que es demostra és que la hipòtesis d’un nombre finit de nombres prims condueix a contradicció.

El llibre X dels Elements va ser avanç del començament de l’àlgebra moderna, el més admirat i el més temut. Conté 115 propostes, més que cap, la majoria de les quals expressen equivalents geomètriques de propietats de el que anomenem aritmèticament irracionals cuadràtics.

El material que ens trobem en el llibre XI, que compren 29 propostes relatives a la geometria tridimensional, resultarà conegut en la seva major part per qualsevol que hagi seguit un curs de geometria elemental de sòlids. Una vegada més les definicions poden ser fàcilment objecte de crítica, ja que Euclides defineix un sòlid com “ lo que te longitud, amplada i profunditat”, i aleshores ens diu que “una frontera de un sòlid és una superfície”; les quatre últimes definicions son les de quatre dels políedres regulars, entre les quals no figura la del tetràedre, probablement per considerar-ho inclòs en una definició prèvia de piràmide com “una figura sòlida limitada per plans, que es construeix des de un pla a un punt arbitrari”.

Les 18 propostes del llibre XII es refereixen totes a la mesura de figures utilitzant el mètode de eshauxció; el llibre comença amb una demostració minuciosa del teorema que assegura que les àrees de cercles estiguin entre si en la mateixa raó que els quadrats sobre els seus diàmetres. A continuació s’aplica el mateix mètode, de una típica doble reductio ad absurdum, al càlcul dels volums de piràmides, cons, cilindres i esferes. Arquímides va atribuir posteriorment les demostracions rigoroses de aquests teoremes a Euxodo, del qual probablement va adaptar Euclides la major part de aquest material.

El últim llibre està dedicat exclusivament a les propietats dels cinc sòlids regulars, fet que ha mogut alguns historiadors a pensar que els Elements van ser compostos com una glorificació de les figures còsmiques o platòniques. En vista de que una gran part del matèria previ està molt lluny de relacionar-se amb res que tingui que veure amb els políedres regulars, una hipòtesis com aquesta resulta completament gratuïta, però en tot cas aquests teoremes finals constitueixen un “clímax” adequat per un tractar tan notable. L’objecte d’aquests teoremes es el de “inscriure” cada un dels sòlids regulars en una esfera, es a dir, trobar la raó de l’aresta del sòlid al radi de l’esfera circumscrita. Els comentaristes grecs atribueixen aquests càlculs a Teeteto, a qui  es deu, doncs, probablement la major part del llibre XIII.

Presentació     Introducció     Tales     Pitàgores    Euclides     Arquimedes     Altres