Coordenades d'un vector a partir de l'origen i de l'extrem

Si P = (x1, y1, z1) i Q = (x2, y2, z2), llavors $ \overrightarrow{PQ}$ = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) En efecte, com $ \overrightarrow{OP}$ + $ \overrightarrow{PQ}$ = $ \overrightarrow{OQ}$, llavors $ \overrightarrow{PQ}$ = $ \overrightarrow{OQ}$ - $ \overrightarrow{OP}$, aplicant la definiciˇ de coordenades

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\overrightarrow{OP}=x_1\vec e_1+...
...\
\overrightarrow{OQ}=x_2\vec e_1+y_2\vec e_2+z_2\vec e_3
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
\overrightarrow{OP}=x_1\vec e_1+y_1\vec e_2+z_1\vec e_3\\
\overrightarrow{OQ}=x_2\vec e_1+y_2\vec e_2+z_2\vec e_3
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\overrightarrow{OP}=x_1\vec e_1+...
...
\overrightarrow{OQ}=x_2\vec e_1+y_2\vec e_2+z_2\vec e_3
\end{array}}\right\}$$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \overrightarrow{PQ}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ = (x2 - x1)$\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ + (y2 - y1)$\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$ + (z2 - z1)$\displaystyle \vec{e}_{3}^{}$

Per tant $ \overrightarrow{PQ}$ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)     $ \Box$

D'aquesta proposiciˇ dedu´m que les coordenades de l'extrem Q d'un vector $ \overrightarrow{PQ}$ s'obtenen sumant les de l'origen P i les del vector $ \overrightarrow{PQ}$, si P = (x0, y0, z0), $ \vec{v} $ = $ \overrightarrow{PQ}$ = (v1, v2, v3), llavors:

Q = P + $\displaystyle \overrightarrow{PQ}$ = P + $\displaystyle \vec{v} $ = (x0, y0, z0) + (v1, v2, v3) = (x0 + v1, y0 + v2, z0 + v3)