Combinacions lineals de punts

Per introduir el concepte de combinació lineal de punts, pensem en el punt mitjà M de dos punts PQ. Si $ \vec{v} $ = $ \overrightarrow{PQ}$, el punt mitjà M s'obte de la manera següent

M = P + $\displaystyle \vec{v} $ = P + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(Q - P) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$P + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$Q

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/mitja}

El punt mitjà M compleix la condició següent:

$\displaystyle \forall$ O $\displaystyle \in$ A$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \overrightarrow{OP}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \overrightarrow{OQ}$, doncsM - O = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(P - O) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(Q - O)

Per tant

$\displaystyle \forall$ O $\displaystyle \in$ AM = O + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \overrightarrow{OP}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \overrightarrow{OQ}$

En aquest apartat pretenem generalitzar el concepte de punt mitjà, pensem doncs amb n punts P1P2,..., Pn i n escalars $ \la_{1}^{}$$ \la_{2}^{}$,...,$ \la_{n}^{}$, volem buscar les condicions que s'han de complir perquè l'expressió

O + $\displaystyle \la_{1}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OP_1}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OP_2}$ + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OP_n}$ = G (6.2)

sigui independent del punt O $ \in$ A. Una vegada haguem determinat aquestes condicions, direm que el punt G és la combinació lineal dels punts P1P2,..., Pn amb els escalars $ \la_{1}^{}$$ \la_{2}^{}$,...,$ \la_{n}^{}$ i escriurem:

G = $\displaystyle \la_{1}^{}$P1 + $\displaystyle \la_{2}^{}$P2 + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$Pn

Aquest punt G complirà $ \overrightarrow{OG}$ = $ \la_{1}^{}$$ \overrightarrow{OP_1}$ + $ \la_{2}^{}$$ \overrightarrow{OP_2}$ + ... + $ \la_{n}^{}$$ \overrightarrow{OP_n}$$ \forall$ O $ \in$ A
\begin{Prop}\quad\end{Prop}
Donats n punts P1P2,..., Pn i escalars $ \la_{1}^{}$$ \la_{2}^{}$,...,$ \la_{n}^{}$, llavors l'expressió (6.2) és independent d'O $ \in$ A si es compleix la condició $ \la_{1}^{}$ + $ \la_{2}^{}$ + ... + $ \la_{n}^{}$ = 1.

Prova. Siguin OO' $ \in$ A, llavors $ \overrightarrow{OO'}$ + $ \overrightarrow{O'P_i}$ = $ \overrightarrow{OP_i}$, siguin G i G' els punts:

G = O + $\displaystyle \la_{1}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OP_1}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OP_2}$ + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OP_n}$
G' = O' + $\displaystyle \la_{1}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{O'P_1}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{O'P_2}$ + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{O'P_n}
$

calculem el vector $ \overrightarrow{G'G}$ = G - G':

$\displaystyle \overrightarrow{G'G}$ = (O - O') + $\displaystyle \la_{1}^{}$($\displaystyle \overrightarrow{OP_1}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O'P_1}$) + $\displaystyle \la_{2}^{}$($\displaystyle \overrightarrow{OP_2}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O'P_2}$) + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$($\displaystyle \overrightarrow{OP_n}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O'P_n}
$) =
  = $\displaystyle \overrightarrow{O'O}$ + $\displaystyle \la_{1}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OO'}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OO'}$ + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$$\displaystyle \overrightarrow{OO'}$ = ($\displaystyle \la_{1}^{}$ + $\displaystyle \la_{1}^{}$ + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ - 1)$\displaystyle \overrightarrow{OO'}$

i per tant G = G' quan $ \la_{1}^{}$ + $ \la_{2}^{}$ + ... + $ \la_{n}^{}$ = 1.     $ \Box$