Combinacions lineals de punts

Per introduir el concepte de combinació lineal de punts, pensem en el punt mitjà M de dos punts P, Q. Si $\vec{v}$ = $\overrightarrow{PQ}$ , el punt mitjà M s'obte de la manera següent

M = P + $\displaystyle \vec{v}$ = P + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (Q - P) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ P + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ Q

$\includegraphics{c:/ramon/geome/mitja}$

El punt mitjà M compleix la condició següent:

$\displaystyle \forall$ O $\displaystyle \in$ A $\displaystyle \Lra$ $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ , doncsM - O = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (P - O) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (Q - O)

Per tant

$\displaystyle \forall$ O $\displaystyle \in$ A, M = O + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OQ}$

En aquest apartat pretenem generalitzar el concepte de punt mitjà, pensem doncs amb n punts P₁, P₂,..., P_n i n escalars $\la_{1}^{}$ , $\la_{2}^{}$ ,..., $\la_{n}^{}$ , volem buscar les condicions que s'han de complir perquè l'expressió

O + $\displaystyle \la_{1}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP_1}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP_2}$ + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP_n}$ = G

(6.2)

sigui independent del punt O $\in$ A. Una vegada haguem determinat aquestes condicions, direm que el punt G és la combinació lineal dels punts P₁, P₂,..., P_n amb els escalars $\la_{1}^{}$ , $\la_{2}^{}$ ,..., $\la_{n}^{}$ i escriurem:

G = $\displaystyle \la_{1}^{}$ P₁ + $\displaystyle \la_{2}^{}$ P₂ + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ P_n

Aquest punt G complirà $\overrightarrow{OG}$ = $\la_{1}^{}$ $\overrightarrow{OP_1}$ + $\la_{2}^{}$ $\overrightarrow{OP_2}$ + ^... + $\la_{n}^{}$ $\overrightarrow{OP_n}$ , $\forall$ O $\in$ A
$\begin{Prop}\quad\end{Prop}$
Donats n punts P₁, P₂,..., P_n i escalars $\la_{1}^{}$ , $\la_{2}^{}$ ,..., $\la_{n}^{}$ , llavors l'expressió (6.2) és independent d'O $\in$ A si es compleix la condició $\la_{1}^{}$ + $\la_{2}^{}$ + ^... + $\la_{n}^{}$ = 1.

Prova. Siguin O, O' $\in$ A, llavors $\overrightarrow{OO'}$ + $\overrightarrow{O'P_i}$ = $\overrightarrow{OP_i}$ , siguin G i G' els punts:

G = O + $\displaystyle \la_{1}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP_1}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP_2}$ + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OP_n}$

G' = O' + $\displaystyle \la_{1}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{O'P_1}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{O'P_2}$ + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{O'P_n}$

calculem el vector $\overrightarrow{G'G}$ = G - G':

$\displaystyle \overrightarrow{G'G}$	=	(O - O') + $\displaystyle \la_{1}^{}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OP_1}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O'P_1}$ ) + $\displaystyle \la_{2}^{}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OP_2}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O'P_2}$ ) + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OP_n}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O'P_n}$ ) =
	=	$\displaystyle \overrightarrow{O'O}$ + $\displaystyle \la_{1}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OO'}$ + $\displaystyle \la_{2}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OO'}$ + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ $\displaystyle \overrightarrow{OO'}$ = ( $\displaystyle \la_{1}^{}$ + $\displaystyle \la_{1}^{}$ + ^... + $\displaystyle \la_{n}^{}$ - 1) $\displaystyle \overrightarrow{OO'}$

i per tant G = G' quan $\la_{1}^{}$ + $\la_{2}^{}$ + ^... + $\la_{n}^{}$ = 1. $\Box$