Baricentre de n punts

Començarem definint el baricentre o centre de masses en el cas en que tots els punts tinguin el mateix pes.
\begin{definicio}[baricentre]\index{baricentre} Donats $n$ punts $P_1, P_2,\ld...
...c{1}{n}P_1+\frac{1}{n}P_2+\cdots+\frac{1}{n}P_n
\end{displaymath}\end{definicio}
Observem que pel cas n = 2 el baricentre és el punt mitjà.

El centre de masses de n punts P1P2,... amb diferents pesos, m1m2, ... es defineix de la forma

G = $\displaystyle \la_{1}^{}$P1 + $\displaystyle \la_{2}^{}$P2 + ... + $\displaystyle \la_{n}^{}$Pn,    on    $\displaystyle \la_{i}^{}$ = $\displaystyle {\frac{m_i}{\sum_{k=1}^n m_k}}$

Els conceptes definits en aquest apartat (punt mitjà, baricentre, etc.) són conceptes afins, o sigui, no depenen de la referència afí que es consideri i s'han definit sense que intervingui el concepte de distància.
\begin{exemple}\quad\end{exemple}
Demostració que el baricentre d'un triangle divideix cada mitjana en dos segments que estan en la proporció 1 : 2.

Resolució. Considerem el triangle ABC de la figura 6.1 i M el punt mitjà de BC

G = $\displaystyle {\frac{A+B+C}{3}}$,    M = $\displaystyle {\frac{B+C}{2}}$,

podem expressar el punt G de la forma:

G = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{B+C}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{B+C}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{B+C}{2}}\right)$$\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$A = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$M + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$A,

prenent origen en el punt G:

$\displaystyle \vec{0} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$$\displaystyle \overrightarrow{GM}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \overrightarrow{GA}$$\displaystyle \Lra$2$\displaystyle \overrightarrow{GM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AG}
$

De la mateixa manera si ABCD és un tetràedre, el baricentre P divideix el segment que uneix cada vèrtex amb el baricentre de la cara oposada en dos parts que estan en la proporció 1 : 3 ja que,

P = $\displaystyle {\frac{A+B+C+D}{4}}$$\displaystyle \Lra$P = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{A+B+C}{3}}\right.$$\displaystyle {\frac{A+B+C}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{A+B+C}{3}}\right)$$\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$D = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$G + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$D

    $ \Box$

 

Figura 6.1: Baricentre d'un triangle i un tetràedre
\includegraphics{c:/ramon/geome/bari2}


\begin{definicio}[simètric]\index{simètric}El simètric d'un punt $P$\ respecte u...
...frac{P+P'}{2}=Q, \textrm{ per tant } P'=2 Q - P
\end{displaymath}\end{definicio}