Recta

La recta és la varietat lineal de dimensió 1, per tant està determinada per un punt P i un vector $ \vec{v} $$ \ne$ 0 que rep el nom de vector director. Un punt qualsevol X de la recta s'expressa de la forma X = P + $ \la$$ \vec{v} $, on $ \la$ $ \in$ $ \real$ és un paràmetre, escrivint l'equació en coordenades obtenim l'equació vectorial de la recta:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
X=(x,y,z)\\
P=(x_0,y_0,z_0)\\
\vec v=(v_1,v_2,v_3)
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
X=(x,y,z)\\
P=(x_0,y_0,z_0)\\
\vec v=(v_1,v_2,v_3)
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
X=(x,y,z)\\
P=(x_0,y_0,z_0)\\
\vec v=(v_1,v_2,v_3)
\end{array}}\right\}$(x, y, z) = (x0, y0, z0) + $\displaystyle \la$(v1, v2, v3),

igualant cada component s'obtenen les equacions paramètriques de la recta:

$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} x=x_0+\la v_1\  y=y_0+\la v_2\  z=z_0+\la v_3\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{l} x=x_0+\la v_1\  y=y_0+\la v_2\  z=z_0+\la v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} x=x_0+\la v_1\  y=y_0+\la v_2\  z=z_0+\la v_3\end{array} }\right\}$        amb$\displaystyle \la$paràmetre (6.3)

Donant un valor qualsevol al paràmetre $ \la$ $ \in$ $ \real$, el resultat (x, y, z) és sempre un punt de la recta, eliminant el paràmetre $ \la$ obtenim l'equació contínua de r:

$\displaystyle {\frac{x-x_0}{v_1}}$ = $\displaystyle {\frac{y-y_0}{v_2}}$ = $\displaystyle {\frac{z-z_0}{v_3}}$ (6.4)

que representa la condició necessària i suficient perquè un punt (x, y, z) pertanyi a la recta.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/rectapla}