Pla

Un pla p està determinat per un punt P i dos vectors $ \vec{u} $$ \vec{v} $ de direcció diferent (linealment independents) que s'anomenen vectors directors del pla. Un punt X qualsevol del pla s'expressa de la forma X = P + $ \la$$ \vec{u} $ + $ \mu$$ \vec{v} $, escrivint-ho en coordenades obtenim l'equació vectorial del pla:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + $\displaystyle \la$(u1, u2, u3) + $\displaystyle \mu$(v1, v2, v3),

igualant cada component obtenim les equacions paramètriques del pla

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
x=x_0+\la u_1+\mu v_1\  y=y_0+\la u_2+\mu v_2\  z=z_0+\la u_3+\mu v_3\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
x=x_0+\la u_1+\mu v_1\  y=y_0+\la u_2+\mu v_2\  z=z_0+\la u_3+\mu v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
x=x_0+\la u_1+\mu v_1\  y=y_0+\la u_2+\mu v_2\  z=z_0+\la u_3+\mu v_3\end{array}}\right\}$        amb$\displaystyle \la$$\displaystyle \mu$paràmetres

Eliminant $ \la$$ \mu$ tenim l'equació implícita, que és la condició necessària i suficient que compleixen tots els punts del pla. Aquesta equació també es pot trobar imposant que els vectors $ \overrightarrow{PX}$$ \vec{u} $$ \vec{v} $ són linealment dependents i per tant tenen determinant nul:

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{ccc}
x-x_0&u_1&v_1\  y-y_0&u_2&v_2\  z-z_0&u_3&v_3\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc}
x-x_0&u_1&v_1\  y-y_0&u_2&v_2\  z-z_0&u_3&v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccc}
x-x_0&u_1&v_1\  y-y_0&u_2&v_2\  z-z_0&u_3&v_3\end{array}}\right\vert$ = 0,

desenvolupant per la primera columna:

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\  u_3&v_3\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}u_2&v_2\  u_3&v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\  u_3&v_3\end{array}}\right\vert$(x - x0) - $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_3&v_3\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_3&v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_3&v_3\end{array}}\right\vert$(y - y0) + $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_2&v_2\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_2&v_2\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_2&v_2\end{array}}\right\vert$(z - z0) = 0

prenent

A = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\  u_3&v_3\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}u_2&v_2\  u_3&v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\  u_3&v_3\end{array}}\right\vert$,    B = - $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_3&v_3\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_3&v_3\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_3&v_3\end{array}}\right\vert$,    C = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_2&v_2\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_2&v_2\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\  u_2&v_2\end{array}}\right\vert$,    D = - Ax0 - By0 - Cz0,

arribem a l'equació Ax + By + Cz + D = 0 que és l'equació implícita de p.