Pla

Un pla p està determinat per un punt P i dos vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ de direcció diferent (linealment independents) que s'anomenen vectors directors del pla. Un punt X qualsevol del pla s'expressa de la forma X = P + $\la$$\vec{u}$ + $\mu$$\vec{v}$, escrivint-ho en coordenades obtenim l'equació vectorial del pla:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + $$\la$$(u₁, u₂, u₃) + $$\mu$$(v₁, v₂, v₃),

igualant cada component obtenim les equacions paramètriques del pla

$$\left.\vphantom{\begin{array}{l} x=x_0+\la u_1+\mu v_1\ y=y_0+\la u_2+\mu v_2\ z=z_0+\la u_3+\mu v_3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x=x_0+\la u_1+\mu v_1\ y=y_0+\la u_2+\mu v_2\ z=z_0+\la u_3+\mu v_3\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{l} x=x_0+\la u_1+\mu v_1\ y=y_0+\la u_2+\mu v_2\ z=z_0+\la u_3+\mu v_3\end{array}}\right\}$$        amb$$\la$$, $$\mu$$paràmetres

Eliminant $\la$, $\mu$ tenim l'equació implícita, que és la condició necessària i suficient que compleixen tots els punts del pla. Aquesta equació també es pot trobar imposant que els vectors $\overrightarrow{PX}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ són linealment dependents i per tant tenen determinant nul:

$$\left\vert\vphantom{\begin{array}{ccc} x-x_0&u_1&v_1\ y-y_0&u_2&v_2\ z-z_0&u_3&v_3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} x-x_0&u_1&v_1\ y-y_0&u_2&v_2\ z-z_0&u_3&v_3\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccc} x-x_0&u_1&v_1\ y-y_0&u_2&v_2\ z-z_0&u_3&v_3\end{array}}\right\vert$$ = 0,

desenvolupant per la primera columna:

$$\left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\ u_3&v_3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}u_2&v_2\ u_3&v_3\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\ u_3&v_3\end{array}}\right\vert$$(x - x₀) - $$\left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_3&v_3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_3&v_3\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_3&v_3\end{array}}\right\vert$$(y - y₀) + $$\left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_2&v_2\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_2&v_2\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_2&v_2\end{array}}\right\vert$$(z - z₀) = 0

prenent

A = $$\left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\ u_3&v_3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}u_2&v_2\ u_3&v_3\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_2&v_2\ u_3&v_3\end{array}}\right\vert$$,    B = - $$\left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_3&v_3\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_3&v_3\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_3&v_3\end{array}}\right\vert$$,    C = $$\left\vert\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_2&v_2\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_2&v_2\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}u_1&v_1\ u_2&v_2\end{array}}\right\vert$$,    D = - Ax₀ - By₀ - Cz₀,

arribem a l'equació Ax + By + Cz + D = 0 que és l'equació implícita de p.