Intersecció i paral·lelisme entre dos plans

Suposem que p i p' són dos plans d'equacions Ax + By + Cz + D = 0 i A'x + B'y + C'z + D = 0 respectivament, la intersecció p $ \cap$ p' està formada per les solucions del sistema d'equacions lineals:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D&=&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D&=&0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D&=&0 \end{array}}\right\}$ (6.5)

El número de solucions depèn dels rangs r i r' de la matriu del sistema i de la matriu ampliada:

r = $\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{l}
1\Lra\left\{
\begin{array}{l}
...
...ight.\\
2\Lra r'=2\Lra p_1\cap p_2 \textrm{ és una recta}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
1\Lra\left\{
\begin{array}{l}
r'=1\Lra p_1=p_2 \...
...array}\right.\\
2\Lra r'=2\Lra p_1\cap p_2 \textrm{ és una recta}
\end{array}$

Observem que la condició de paral·lelisme és r = 1 o sigui $ \ds$$ {\frac{A}{A'}}$ = $ \ds$$ {\frac{B}{B'}}$ = $ \ds$$ {\frac{C}{C'}}$, a més:

$\displaystyle {\frac{A}{A'}}$ = $\displaystyle {\frac{B}{B'}}$ = $\displaystyle {\frac{C}{C'}}$    $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{l}
=\ds\frac{D}{D'}\Ra\textrm{para...
...\\  \\
\ne\ds\frac{D}{D'}\Ra\textrm{paral·lels diferents}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
=\ds\frac{D}{D'}\Ra\textrm{paral·lels iguals}\\  \\
\ne\ds\frac{D}{D'}\Ra\textrm{paral·lels diferents}
\end{array}$


\begin{definicio}[feix de plans paral·lels]Donat un pla $p$,
el conjunt de plans...
... són paral·lels a $p$, s'anomena
feix de plans paral·lels a $p$.
\end{definicio}
Si l'equació implícita de p és Ax + By + Cz + D = 0, l'expressió del feix de plans paral·lels a p és Ax + By + Cz + k = 0 amb k paràmetre real.
\begin{exemple}\quad\end{exemple}
Càlcul del pla paral·lel a 2x + 3y - 5z + 1 = 0 que passa pel punt P = (- 1, 1, 2).

Resolució. El pla buscat p és del feix de plans paral·lels i per tant té la forma 2x + 3y - 5z + k = 0 per un cert k $ \in$ $ \real$, només hem de calcular k perquè P $ \in$ p

2(- 1) + 3 . 1 - 5 . 2 + k = 0$\displaystyle \Lra$k = 9

I per tant l'equació del pla buscat és 2x + 3y - 5z + 9 = 0.    $ \Box$