Intersecció i paral·lelisme entre una recta i un pla

Sigui s la recta P + < $ \vec{u} $ > i p el pla Q + < $ \vec{v} $$ \vec{w} $ >; suposem que coneixem l'equació implícita del pla Ax + By + Cz + D = 0 i que s ve expressada com a intersecció de plans de la forma:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
A'x+B'y+C'z+D'&=&0\\
A''x+B''y+C''z+D''&=&0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
A'x+B'y+C'z+D'&=&0\\
A''x+B''y+C''z+D''&=&0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
A'x+B'y+C'z+D'&=&0\\
A''x+B''y+C''z+D''&=&0
\end{array}}\right\}$

La condició de paral·lelisme entre recta i pla és < $ \vec{u} $ > $ \subset$ < $ \vec{v} $$ \vec{w} $ > que és equivalent a la condició det($ \vec{u} $,$ \vec{v} $,$ \vec{w} $) = 0. En general s $ \cap$ p ve donada per les solucions del sistema:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0 \end{array}}\right\}$ (6.6)

Si r és el rang de la matriu del sistema i r' el rang de l'ampliada, llavors:

r = $\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{l}
2\Lra\left\{
\begin{array}{l}
...
...y}\right.\\
3\Lra r'=3\Lra r\cap\pi \textrm{ és un punt.}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
2\Lra\left\{
\begin{array}{l}
r'=2\Lra r\subset\...
...end{array}\right.\\
3\Lra r'=3\Lra r\cap\pi \textrm{ és un punt.}
\end{array}$

La condició de paral·lelisme en termes dels sistema (6.6) és que el rang de la matriu del sistema sigui 2 o sigui:

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{rrr}
A&B&C\\
A'&B'&C'\\
A''&B''&C''
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr}
A&B&C\\
A'&B'&C'\\
A''&B''&C''
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr}
A&B&C\\
A'&B'&C'\\
A''&B''&C''
\end{array}}\right\vert$ = 0

A continuació enunciem una condició de paral·lelisme entre recta i pla que s'utilitza si coneixem el vector director de la recta $ \vec{u} $ i l'equació implícita del pla:
\begin{Prop}[condició de paral·lelisme entre recta i pla]
\end{Prop}
Si el vector director de la recta s és $ \vec{u} $ = (u1, u2, u3) i p té equació implícita Ax + By + Cz + D = 0, llavors:

s || p$\displaystyle \iff$Au1 + Bu2 + Cu3 = 0

Prova. Sigui P = (x0, y0, z0) un punt de la recta r, qualsevol punt (x, y, z) de la recta es pot expressar de la forma

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + $\displaystyle \la$(u1, u2, u3)amb$\displaystyle \la$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \real$

Per buscar r $ \cap$ $ \pi$, cal trobar $ \la$ $ \in$ $ \real$ de manera que A(x0 + $ \la$u1) + B(y0 + $ \la$u2) + C(z+$ \la$u3) + D = 0, per tant

$\displaystyle \la$(Au1 + Bu2 + Cu3) + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (6.7)

La condició de paral·lelisme entre s i p en termes de (6.7) és que el sistema no admeti solució única per $ \la$, per tant Au1 + Bu2 + Cu3 = 0     $ \Box$