Feix de plans que conté una recta

Donada una recta r, el conjunt de plans que la conté, s'anomena feix de plans que conté r. En aquest apartat expressarem aquest feix de plans a partir de les equacions de la recta, suposem que r ve donada com a intersecció de plans de la forma

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0 \end{array}}\right\}$ (6.8)


\begin{Prop}\quad\end{Prop}
El feix de plans que conté la recta d'equacions (6.8) es pot expressar de la forma

$\displaystyle \alpha$(Ax + By + Cz + D) + $\displaystyle \beta$(A'x + B'y + C'z + D') = 0amb$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \real$ (6.9)

Prova. Només cal observar que $ \forall$ $ \alpha$$ \beta$ $ \in$ $ \real$, un pla de la forma (6.9) sempre conté la recta r ja que si (x, y, z) compleix les equacions (6.8) també compleix l'equació (6.9), i que si un pla A''x + B''y + C''z + D'' = 0 conté la recta r, llavors cal que el sistema

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0 \end{array}}\right\}$

tingui rang 2, per tant (A'', B'', C'', D'') és combinació lineal de (A, B, C, D) i (A', B', C', D').    $ \Box$

En l'equació (6.9) es pot observar que per diferents valors dels paràmetres $ \alpha$$ \beta$ $ \in$ $ \real$ obtenim un mateix pla, ja que l'equació implícita d'un pla es pot multiplicar per una constant no nul·la; per evitar aquest petit inconvenient es pot dividir l'equació (6.9) per $ \alpha$, llavors l'equació del feix resulta:

Ax + By + Cz + D + k(A'x + B'y + C'z + D') = 0    onk = $\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha}}$, (6.10)

ara però, resulta que al variar k $ \in$ $ \real$, l'equació 6.10 dóna tots els plans del feix menys un, que és el pla d'equació A'x + B'y + C'z + D' = 0 corresponent al valor k = $ \infty$.
\begin{exemple}\quad\end{exemple}
Càlcul del pla que conté la recta r : $ \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
x+y+z-1&=&0\  2x-y+2z-2&=&0\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}
x+y+z-1&=&0\  2x-y+2z-2&=&0\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
x+y+z-1&=&0\  2x-y+2z-2&=&0\end{array}}\right\}$ paral·lel a la recta s : $ \ds$$ {\frac{x-1}{1}}$ = $ \ds$$ {\frac{y-1}{2}}$ = $ \ds$$ {\frac{z-1}{-2}}$.

Resolució. Considerem el feix de plans que conté r:

(x + y + z - 1) + k(2x - y + 2z - 2) = 0 (6.11)

Desenvolupant arribem a l'equació (1 + 2k)x + (1 - k)y + (1 + 2k)z - 1 - 2k = 0, imposant la condició de paral·lelisme entre aquest pla i la recta s obtenim:

1(1 + 2k) + 2(1 - k) + (- 2)(1 + 2k) = 0$\displaystyle \Lra$k = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$

Substituïnt el valor de k a l'equació (6.11) i simplificant obtenim que l'equació del pla buscat és 2x + y + 2z = 2.    $ \Box$