Intersecció i paral·lelisme entre dues rectes

Sigui s la recta P + < $ \vec{u} $ > i t la recta Q + < $ \vec{v} $ >, la condició perquè s i t siguin paral·leles és $ \rg${$ \vec{u} $$ \vec{v} $} = 1 o sigui:

$\displaystyle {\frac{u_1}{v_1}}$ = $\displaystyle {\frac{u_2}{v_2}}$ = $\displaystyle {\frac{u_3}{v_3}}$

Si s i t no són paral·leles llavors es poden presentar les situacions següents:
\begin{definicio}[rectes coplanàries]\index{rectes!coplanàries}
\end{definicio}
Es diu que dues rectes són coplanàries, si existeix un pla que les conté, la condició perquè s i t siguin coplanàries és det($ \vec{u} $,$ \vec{v} $,$ \overrightarrow{PQ}$) = 0, en aquest cas hi ha tres possibles posicions afins:
Si les rectes s i t venen donades com a intersecció de plans:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0 \end{array}}\right\}$s,        $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
A''x+B''y+C''z+D''&=&0\\
A'''x+B'''y+C'''z+D'''&=&0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
A''x+B''y+C''z+D''&=&0\\
A'''x+B'''y+C'''z+D'''&=&0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
A''x+B''y+C''z+D''&=&0\\
A'''x+B'''y+C'''z+D'''&=&0
\end{array}}\right\}$t,

la intersecció de s i t està determinada per les solucions del sistema:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0\  A'''x+B'''y+C'''z+D'''&=&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+D'&=&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0\  A'''x+B'''y+C'''z+D'''&=&0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0\  A'x+B'y+C'z+...
...&0\  A''x+B''y+C''z+D''&=&0\  A'''x+B'''y+C'''z+D'''&=&0 \end{array}}\right\}$ (6.12)

fent-ne la discussió també arribarem a les posicions relatives de s i t, prenent r el rang de la matriu del sistema i r' el rang de l'ampliada, llavors:

r = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{l}
2\Lra\left\{\begin{array}{l}
r'...
...r'=4\Lra \textrm{ rectes que es creuen.}
\end{array}\right.
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
2\Lra\left\{\begin{array}{l}
r'=2\Lra \textrm{ r...
...t.}\\
r'=4\Lra \textrm{ rectes que es creuen.}
\end{array}\right.
\end{array}$

La condició perquè s i t siguin coplanàries en termes del sistema d'equacions (6.12) és r' < 4 per tant:

sitsóncoplanàries$\displaystyle \iff$$\displaystyle \left\vert\vphantom{\begin{array}{rrrr}
A&B&C&D\\
A'&B'&C'&D'\\
A''&B''&C''&D''\\
A'''&B'''&C'''&D'''
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrrr}
A&B&C&D\\
A'&B'&C'&D'\\
A''&B''&C''&D''\\
A'''&B'''&C'''&D'''
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrrr}
A&B&C&D\\
A'&B'&C'&D'\\
A''&B''&C''&D''\\
A'''&B'''&C'''&D'''
\end{array}}\right\vert$ = 0