Exercicis

  1. Donats els punts (2, 1, 0); (1, 1, 3); (0, 0, 2). Trobeu l'equació implícita del pla que determinen.

  2. Trobeu l'equació del pla que passa pel punt (2, 0, 3) i que conté la recta

    $\displaystyle {\frac{x-1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{y+3}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{z-2}{3}}$

  3. Trobeu la recta que passa pel punt (1, 3, 7) i és paral·lela a la recta

    $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}
{x-z}&=&{1}\  {x+y-2z}&=&{0}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
{x-z}&=&{1}\  {x+y-2z}&=&{0}
\end{array}$

  4. Calculeu les equacions del pla que passa pel punt (1, 3, - 1) i paral·lel a x - 2y + z = 0.

  5. Donades les rectes x-1 = $ {\frac{y-1}{-1}}$ = $ {\frac{z+2}{2}}$;        $ {\frac{x+5}{4}}$ = $ {\frac{y-3}{-2}}$ = $ {\frac{z+4}{3}}$
    1. Proveu que són coplanàries.
    2. Trobeu l'equació del pla que determinen.
    3. Si les rectes es tallen, troba la intersecció.
  6. Trobeu l'equació del pla que passa pel punt (1, 0, 1) i és paral·lel a les rectes

    $\displaystyle {\frac{x-3}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{y-7}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{z-1}{2}}$;        $\displaystyle {\frac{x-2}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{y-1}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{z+9}{1}}$

  7. Determineu si el pla x + y + z + 2 = 0 pertany al feix determinat per la recta

    $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}
{x+2y-z-1}&=&{0}\  {x+3y+4z+2}&=&{0}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
{x+2y-z-1}&=&{0}\  {x+3y+4z+2}&=&{0}
\end{array}$

  8. Trobeu l'equació del pla que passa pels punts (5, 0, 2); (1, 4, 2) i és paral·lel a la recta

    $\displaystyle {\frac{x-2}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{y-3}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{z-1}{3}}$

  9. Considerem les rectes r : $ {\frac{x-1}{2}}$ = $ {\frac{y-2}{3}}$ = z;        s : $ {\frac{x+1}{3}}$ = $ {\frac{y-1}{2}}$ = z, trobeu l'equació del pla que conté a r i és paral·lel a s i la del pla que conté a s i és paral·lel a r.

  10. Trobeu les equacions de la recta que passa per P = (2, 4, 5) i talla les rectes r i s, on:

    r és la recta que passa pels punts (2, - 1, 0) i (1, 3, - 1) i

    s té equacions $ \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}{1+2x+2y-z}&=&{0}\  {-2-x+y+4z}&=&{0}\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}{1+2x+2y-z}&=&{0}\  {-2-x+y+4z}&=&{0}\end{array}$

  11. Determineu la posició relativa de les rectes r i s on:

    r és la recta que passa pel punt A = (1, - 2, 3) i té vector director $ \vec{u} $ = (3, 2, 4),

    s és la recta que passa pel punt B = (4, 6, - 2) i té vector director $ \vec{v} $ = (1, - 2, 4).

  12. Donades les rectes r$ \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}{x-2z}&=&{1}\  {y-z}&=&{2}\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}{x-2z}&=&{1}\  {y-z}&=&{2}\end{array}$ i s$ \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}{x+y+z}&=&{1}\  {x-2y+2z}&=&{a}\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}{x+y+z}&=&{1}\  {x-2y+2z}&=&{a}\end{array}$
    1. Determineu el valor d'a perquè siguin coplanàries.
    2. Per aquest valor d'a, trobeu el pla que determinen.
  13. Un punt P recorre la recta (x, y, z) = (2t, 1 - t, 3t), un altre punt Q recorre la recta (x, y, z) = (1 - 2s, 1 - s, 1 + s):
    1. Quina relació ha d'haver entre t i s perquè la recta $ \overleftrightarrow{PQ}$ sigui paral·lela al pla OXY?
    2. Suposant que la relació anterior es verifica, troba el lloc geomètric dels punts mitjans de P i Q.
  14. Determineu la posició relativa de la recta r i el pla p:
    1. r$ \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}{2x-y+z}&=&{3}\  {x+2y-z}&=&{8}\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}{2x-y+z}&=&{3}\  {x+2y-z}&=&{8}\end{array}$        p : x + y + z = 0
    2. r$ \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}{x+y}&=&{2}\  {y-3z}&=&{3}\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}{x+y}&=&{2}\  {y-3z}&=&{3}\end{array}$        p : x + 2y - 3z = 5
  15. Trobeu les equacions de la recta paral·lela a la recta x = 2y = - 2z i que talla a les rectes r i s, on:

    r és la recta que passa pels punts (0, 1, 0) i (0, 3, - 2) i

    s té equacions $ \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}{3x+4z}&=&{1}\  {3y-z}&=&{2}\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rcl}{3x+4z}&=&{1}\  {3y-z}&=&{2}\end{array}$

  16. Determineu els extrems d'un segment AB de forma que A pertany al pla 2x + y + z = 0, B pertany a la recta $ {\frac{x-1}{2}}$ = $ {\frac{y-2}{-1}}$ = $ {\frac{z}{3}}$ i el punt mitjà d'A i B és (1, - 1, 2).