Característica d'Euler

Si M és una superfície, pretenem trobar alguna relació entre les cares, vèrtexs i arestes que esdevingui invariant per les diferents triangulacions de M. Per arribar a aquesta relació, considerarem triangulacions més generals, en el sentit d'acceptar polígons de qualsevol nombre finit de costats. S'anomena subtriangulació a tota triangulació que s'obté a partir d'una altra mitjançant els processos representats en la figura següent, aplicats un nombre finit de vegades. Aquests processos són:
  1. Afegir un vèrtex a una aresta.
  2. Des d'un punt interior a un polígon, afegir un vèrtex i dues arestes.
  3. Afegir una aresta entre dos vèrtexs no consecutius d'un polígon.
\includegraphics{c:/ramon/geome/triangu}

A continuació calcularem xyz números de manera que la quantitat c + xv + ya sigui invariant respecte els tres processos de subtriangulació mencionats en l'apartat anterior, (c=nombre de cares, a=nombre d'arestes i v=nombre de vèrtexs):

xc + yv + za = xc + y(v + 1) + z(a + 1)
xc + yv + za = x(c + 1) + y(v + 1) + z(a + 2)
xc + yv + za = x(c + 1) + yv + z(a + 1)
$\displaystyle \Ra$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
y+z&=&0\\
x+y+2z&=&0\\
x+z&=&0
\end{array}$

resolent el sistema obtenim la solució general y = x, z = - x, prenent la solució particular per x = 1, obtenim la fórmula c + v - a, que aplicada a una triangulació T d'una superfície M, s'anomena característica d'Euler de la triangulació i s'escriu $ \chi$(T). Justifiquem que la característica d'Euler és un nombre associat a la superfície, o sigui, no depèn de la triangulació que hem considerat.

En efecte, donades dues triangulacions T1 i T2, d'una mateixa superfície, per justificar que les dues tenen la mateixa característica d'Euler, trobarem una triangulació T3, que sigui a la vegada subtriangulació de T1 i de T2, vegeu la figura que hi ha a continuació. Com la característica no varia per subtriangulacions, deduïm $ \chi$(T1) = $ \chi$(T2).    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/subtri}

Finalment doncs, la característica d'Euler està associada a la superfície M i no a la triangulació, per tant podem escriure $ \chi$(M). També es pot justificar que la característica d'Euler d'una superfície M no varia si passem de M a una superfície equivalent M', on l'equivalència té el sentit que s'ha donat al començament, o sigui, que hi hagi una deformació contínua que passa de M a M':

M $\displaystyle \equiv$ M'$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \chi$(M) = $\displaystyle \chi$(M')

En efecte, si prenem una triangulació T de M, amb c cares, v vèrtexs i a arestes, la deformació contínua que porta a M', determina una triangulació de M' que té el mateix nombre de cares, vèrtexs i arestes i per tant $ \chi$(M) = $ \chi$(M').



Subseccions