Diagrames de Schlegel

En aquest apartat treballarem el tema de la representació gràfica plana d'un políedre; la representació en dues dimensions d'un objecte tridimensional no és un problema senzill, hi ha diverses tècniques per realitzar-la (perspectiva cavallera, cònica, axonomètrica...) i disciplines com el Dibuix Tècnic que s'hi dediquen d'una manera especial, en aquest apartat no pretenem explicar aquestes tècniques de representació, de tota manera hem elaborat un applet amb JAVA que representa políedres, mitjançant una projecció perpendicular sobre un dels plans de coordenades (perspectiva axonomètrica) amb la possibilitat de girar el políedre. En aquest tipus de representació, si una cara és paral·lela al pla de projecció, la representació d'aquesta cara és isomètrica, o sigui es conserven les distàncies i en conseqüència també els angles, en canvi, si una aresta és perpendicular al pla de projecció la seva representació es redueix a un sol punt. Les arestes que queden per sota d'una cara i que per tant no es veuen --suposant que la cara és opaca-- es representen normalment amb línies de punts i queden superposades a altres arestes visibles.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/repre}

Els diagrames de Schlegel són també representacions planes dels políedres; permeten veure totes les cares, vèrtexs i arestes, encara que amb alguna distorsió. Per obtenir el diagrama d'Schlegel d'un políedre començarem fixant una cara, a continuació deformarem el políedre ''fent més gran'' aquesta cara sense ''trencar-la'', per després projectar sobre ella les arestes cares i vèrtexs restants. En aquests diagrames, estan representats en el pla tots els vèrtexs, arestes i cares del políedre sense superposicions, (la cara inicial queda representada per la part no acotada del pla).

\includegraphics{c:/ramon/geome/sche1}

Els diagrames de Schlegel es poden utilitzar per deduir un desenvolupament pla de cada políedre, en efecte, per calcular un desenvolupament pla, només cal seguir la construcció de cada cara del diagrama fins esgotar totes les cares, en els exemples que mostrem a continuació es dedueixen desenvolupaments plans de l'octàedre, cub i tetràedre; primer numerem els vèrtexs i les cares del diagrama de Schlegel, després construïm un desenvolupament pla seguint l'esquema del diagrama; una vegada s'han esgotat les cares del políedre, es visualitza com estan identificades les arestes de les vores i per tant podem posar les pestanyes per després poder-les encolar.

\includegraphics{c:/ramon/geome/desen}
\includegraphics{c:/ramon/geome/sche2}