Truncaments d'un políedre regular

El truncament o tall dels vèrtexs d'un políedre regular amb plans perpendiculars a la recta que passa pel centre del políedre i el vèrtex dóna com a resultat diversos tipus de políedres, aquests truncaments es poden practicar a qualsevol tipus de políedre, cada vèrtex del políedre inicial genera una polígon de tants costats com cares arriben al vèrtex, i cada cara del políedre inicial genera també una cara del políedre final; distingirem dues maneres de truncar un políedre regular:

 

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/truncte}

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/trunccu}

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/truncoc}

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/truncic}

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/truncdo}

L'aplicació poliedres permet visualitzar d'una manera dinàmica aquestes operacions de truncament practicades a un políedre qualsevol.

El diagrama de Schlegel del políedres truncats es pot deduir del diagrama de Schlegel del políedre inicial practicant els ''truncaments al diagrama'', a continuació mostrem com es poden deduir els diagrames de Schlegel dels truncats de l'octàedre a partir del diagrama de l'octàedre:

\includegraphics{c:/ramon/geome/scheoc}
recordem que els diagrames de Schlegel són representacions del políedre en les quals es conserven el número de costats de cada cara, el número de cares que arriba a un vèrtex, però no es conserven les distàncies, fins i tot, de vegades les arestes es dibuixen corbades per tal que el diagrama sigui més entenedor. Una vegada tenim el diagrama de Schlegel, podem deduir un desenvolupament pla que ens permetrà construir físicament el políedre en paper o cartolina, a continuació mostrem com es dedueix un desenvolupament pla del cubooctàedre a partir del diagrama de Schlegel.
\includegraphics{c:/ramon/geome/decuoc}

El número de cares, vèrtexs i arestes dels políedres arquimedians es pot deduir d'una manera algebraica si coneixem el número i tipus de polígon que arriba a cada vèrtex, a continuació ho mostrem amb un exemple:
\begin{exemple}\quad\end{exemple}
Càlcul del número de vèrtexs, cares i arestes d'un políedre arquimedià tal que en cada vèrtex hi concorren un quadrat i dos hexàgons.

Resolució. Anomenem x al número de vèrtexs, q al número de quadrats i h al número d'hexàgons del políedre, com cada vèrtex pertany a un sol quadrat, resultarà que x = 4q, de la mateixa manera, com cada vèrtex pertany a dos hexàgons x = 6h/2, per tant, q = x/4 i h = x/3, el nombre de cares del políedre és: c = q + h = x/4 + x/3, mentre que el nombre de arestes es pot deduir del fet que cada aresta pertany a dues cares, per tant: a = (4q + 6h)/2 = 3x/2, com la característica d'Euler del políedre és 2, resulta:

c + v - a = 2$\displaystyle \Ra$$\displaystyle {\frac{x}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{x}{3}}$ + x - $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ = 2$\displaystyle \Ra$x = 24

per tant, q = 6 i h = 8 el políedre arquimedià corresponent és l'octàedre truncat.    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/quhe}


\begin{exemple}\quad\end{exemple}
Deducció del diagrama de Schlegel d'un políedre arquimedià partint de la informació del nombre i tipus de polígons que arriben a cada vèrtex; cas en què a cada vèrtex hi arribin 1 pentàgon, 2 quadrats i 1 triangle.

\includegraphics{c:/ramon/geome/envol}

Resolució. Primer s'ha de comprovar que la disposició dels polígons que hi ha al voltant de cada tipus de polígon és la que mostra l'esquema on p significa pentàgon, t triangle i q quadrat. Una vegada s'ha deduït aquesta disposició es pot començar a construir el diagrama de Schlegel, amb una mica de paciència i respectant les disposicions que s'han deduït anteriorment.    $ \Box$


\begin{exemple}\quad\end{exemple}
Deducció el diagrama de Schlegel d'un políedre arquimedià partint de la informació del nombre i tipus de polígons que arriben a cada vèrtex, cas en què a cada vèrtex hi arriben 3 quadrats i 1 triangle.

\includegraphics{c:/ramon/geome/envol2}

Resolució. Es pot comprovar que aquest cas dóna lloc a dos possibles diagrames de Schlegel; en efecte primer comprovem que hi ha diverses possibilitats en quan a les disposicions dels quadrats i triangles al voltant d'un quadrat; a continuació es pot construir el diagrama de Schlegel. El primer diagrama correspon a un políedre arquimedià que s'anomena petit rombicubooctàedre, mentre que el segon no es considera arquimedià i s'anomena sòlid de Sommerville o també pseudorombicubooctàedre (vegeu [Soler, 1991]).    $ \Box$