Dualitat a l'espai

S'anomena dualitat a una correspondència entre els diversos elements geomètrics que constitueixen l'espai tridimensional, aquesta correspondència assigna a cada pla un punt; a cada punt un pla i a cada recta, una recta. Així, direm que el concepte dual d'un pla és un punt, el concepte dual d'un punt és un pla, mentre que el concepte dual d'una recta és una recta.

La dualitat és una correspondència involutiva, o sigui si la practiquem dues vegades tornem al element inicial, es compleixen també les següents propietats:

• Si dos punts P₁ i P₂ tenen assignats els plans $\pi_{1}^{}$ i $\pi_{2}^{}$, la recta que passa per P₁ i P₂ té assignada la intersecció dels plans $\pi_{1}^{}$ i $\pi_{2}^{}$, (el concepte dual de recta que passa per dos punts és el de recta intersecció de dos plans)
• Si tres punts estan alineats, els plans duals tenen una recta en comú (el concepte dual de punts alineats és el de plans amb una recta en comú).
• Si tres punts P₁, P₂ i P₃ tenen assignats plans $\pi_{1}^{}$, $\pi_{2}^{}$ i $\pi_{2}^{}$, llavors el pla que passa per P₁, P₂ i P₃, té assignat el punt de intersecció $\pi_{1}^{}$ $\cap$ $\pi_{2}^{}$ $\cap$ $\pi_{3}^{}$ (el concepte dual de pla que passa per tres punts és el de punt d'intersecció de tres plans).
• ...

En el cas dels políedres, la dualitat és particularment interessant atès que el dual d'un políedre serà també un políedre, en efecte, a cada cara del políedre inicial li correspon un vèrtex del políedre dual, a cada vèrtex del políedre inicial li correspon una cara del políedre dual i a cada aresta li correspon una aresta, per tant, si un políedre té c cares, v vèrtexs i a arestes, el seu dual tindrà v cares, c vèrtexs i a arestes.

 

Figura 7.3: Dualitat en els políedres regulars.

 

Figura 7.4: Dualitat entre diversos políedres

En l'apartat següent veurem que aquesta correspondència presenta una dificultat ja que depèn de l'elecció d'un punt (origen de coordenades), en el cas d'un políedre amb algun centre de simetria, es pot escollir un origen de manera natural que és el centre de simetria del políedre. ^7.2.

Subseccions

• Dual d'un pla i d'un punt