Els deltàedres

Els deltàedres són políedres amb totes les seves cares triangles equilàters. La lletra grega $ \Delta$ que recorda un triangle equilàter dóna nom a aquesta classe de políedres. No va ser fins l'any 1947 quan els matemàtics Hans Freudenthal i B.L. Van der Waerden varen classificar de manera completa els deltàedres convexos, encara que amb anterioritat ja se'n coneixien alguns dels seus elements. Hi ha tres políedres regulars que també són deltàedres convexos (el tetràedre, l'octàedre i l'icosàedre), per començar la recerca de les restriccions que ha de complir un políedre per ser un deltàedre observem que el número de cares ha de ser un nombre parell atès que si c és el número de triangles, llavors el número d'arestes ha de ser a = 3c/2 la qual cosa implica c parell i a múltiple de 3 el nombre de vèrtexs és v = a - c + 2 = c/2 + 2.

Si pretenem que entre les cares que concorren en un vèrtex no n'hi hagi dues de coplanàries i que el deltàedre sigui convex, el número de cares que arriba a un vèrtex ha de ser inferior a 6. Sense aquesta restricció s'obtenen infinites possibilitats, només cal observar que partint d'un deltàedre qualsevol i dividint cada cara en 4 triangles tal com mostra la figura següent, s'obté també un deltàedre (això sí, amb alguns vèrtexs d'ordre 6), com que aquest procés es pot aplicar al deltàedre que hem obtingut resulta que es poden obtenir infinits políedres:

\includegraphics{c:/ramon/geome/recu}

El text [Soler, 1991] justifica que només hi ha 8 deltàedres convexos caracteritzats pels elements de la taula següent:

Cares Vèrtexs Arestes Nom
4 4 6 Tetràedre
6 5 9 Bipiràmide triangular
8 6 12 Octàedre
10 7 15 Bipiràmide pentagonal
12 8 18  
14 9 21  
16 10 24  
20 12 30 Icosàedre

Amb papiroflèxia modular, o sigui, mòduls de paper que es van afegint fins formar un políedre, es pot aconseguir construir derivats dels deltàedres. El mòdul bàsic s'obté de la manera següent:

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/papiro}
\includegraphics{c:/ramon/geome/papiro1}

els mòduls s'enganxen tal com indica la figura següent:

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/papiro2}
Per construir derivats dels deltàedres cal construir diversos mòduls i enganxar-los seguint l'estructura del deltàedre, aquests derivats són estelats dels deltàedres que resulten de construir un tríedre trirectangle en cada cara del deltàedre; el número de mòduls ha de ser sempre múltiple de 3 i corresponen a les arestes del deltàedre. En el cas de 6 mòduls obtenim l'estelat del tetràedre que és el cub; en els casos de 9, 12 i 20 mòduls obtenim els políedres de la figura representada a continuació. L'exerici 10 proposa la construcció dels estelats dels deltàedres convexos.

\includegraphics{c:/ramon/geome/estedel}