Fonament teòric

Partim com ja hem comentat de l'icosàedre, dividim les arestes de cada aresta en n parts iguals; prenent les paral·leles als costats pels punts construïts obtenim n2 triangles iguals en cada cara de l'icosàedre. A continuació projectem els vèrtexs d'aquests petits triangles sobre l'esfera circumscrita a l'icosàedre --projecció des del centre d'aquesta esfera--; els vèrtexs construïts d'aquesta manera seran els vèrtexs de la geoda, evidentment, la geoda aproximarà millor l'esfera com més gran sigui n. En la figures 7.5 i 7.6 mostrem gràficament aquest procés pel casos n = 2 i n = 4 respectivament, pel cas n = 2, el nombre de cares és c = 20 . 22 = 80, el d'arestes a = 3 . 80/2 = 120 i el de vèrtexs v = a - c + 2 = 42 dels quals 12 són d'ordre 5 i 30 d'ordre 6.

Figura 7.5: Obtenció de la cúpula icosaèdrica de freqüència 2
\includegraphics{c:/ramon/geome/icocup}

 

Figura 7.6: Obtenció de la cúpula icosaèdrica de freqüència 4
\includegraphics{c:/ramon/geome/icocup2}

 

Figura 7.7: Obtenció de la cúpula octaèdrica de freqüència 4
\includegraphics{c:/ramon/geome/octacup}

Si en lloc de partir de l'icosàedre, partim de l'octàedre obtenim una cúpula octaèdrica. La figura 7.7 mostra el procés d'obtenció d'una cúpula octaèdrica de freqüència n = 4, aquest políedre consta de 128 cares, 192 arestes i 66 vèrtexs dels quals 6 són d'ordre 4 i els 60 restants d'ordre 6.