Càlcul de les longituds de les arestes

En aquest apartat, treballarem un mètode per calcular les longituds de les arestes dels diversos triangles que componen una cúpula icosaèdrica d'ordre n; desenvoluparem el cas més senzill n = 2.

Suposem que l'icosàedre està inscrit en una esfera de diàmetre D amb radi r = D/2, si la longitud del costat de l'icosàedre és l, la relació entre l i D és:

D2 = l2 + ($\displaystyle \phi$l )2$\displaystyle \Ra$r = $\displaystyle {\frac{D}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{l\sqrt{1+\phi^2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{l}{2}}$$\displaystyle \sqrt{\phi+2}$ (7.1)

on $ \phi$ és el nombre d'or.

Cada cara de l'icosàedre genera dos tipus d'arestes que hem escrit a i b i estan caracteritzades pels triangles següents:

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/cup21}

Per calcular la longitud a apliquem el teorema del cosinus al triangle $ \triangle$OQR:

a2

= r2 + r2 - 2r2cos$\displaystyle \alpha$ =
  = 2r2(1 - cos$\displaystyle \alpha$) = 2r2(1 - x/r),

\includegraphics{c:/ramon/geome/cup22}

pel teorema de Pitàgores, x2 = r2 - (l /2)2, per tant:

a2 = 2r2$\displaystyle \left(\vphantom{1-\frac{\sqrt{r^2-(l/2)^2}}{r}}\right.$1 - $\displaystyle {\frac{\sqrt{r^2-(l/2)^2}}{r}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\frac{\sqrt{r^2-(l/2)^2}}{r}}\right)$ = 2r2$\displaystyle \left(\vphantom{1-\sqrt{1-\frac{1}{4}
\left(\frac{l}{r}\right)^2}}\right.$1 - $\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{4}
\left(\frac{l}{r}\right)^2}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\sqrt{1-\frac{1}{4}
\left(\frac{l}{r}\right)^2}}\right)$) = 2r2$\displaystyle \left(\vphantom{1-\sqrt{\frac{\phi+1}{\phi+2}}}\right.$1 - $\displaystyle \sqrt{\frac{\phi+1}{\phi+2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\sqrt{\frac{\phi+1}{\phi+2}}}\right)$.

Per calcular la longitud b, observem que els triangles $ \triangle$OSP i $ \triangle$OTQ són semblants, per tant:

$\displaystyle {\frac{b}{l/2}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{x}}$$\displaystyle \Ra$b = r$\displaystyle {\frac{l/2}{x}}$ = r$\displaystyle {\frac{l/2}{\sqrt{r^2-(l/2)^2}}}$

\includegraphics{c:/ramon/geome/cup23}

aplicant 7.1:

b = $\displaystyle {\frac{r}{\sqrt{\left(\ds\frac{r}{l/2}\right)^2-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sqrt{\phi+1}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\phi}}$

substituint el valor $ \phi$ = ($ \sqrt{5}$ + 1)/2 s'obté, b $ \approx$ 0.618034r i a $ \approx$ 0.546533r.

La figura 7.8 mostra l'esquema de construcció de la cúpula de freqüència 2, aquest gràfic és la part de la cúpula geodèsica corresponent a 15 triangles de l'icosàedre generador.

 

Figura 7.8: Cúpula geodèsica de freqüència 2
\includegraphics{c:/ramon/geome/esquema2}

L'aplicació poliedres permet visualitzar, moure, calcular els duals i visualitzar aquests tipus de políedres. Per fer-ho, cal carregar primer un políedre de cares triangulars (per exemple l'icosàedre), després practicar una triangulació 2, i per últim aplicar una Projecció dels vèrtexs sobre l'esfera unitat; també es pot calcular el dual (opció dual) i la forma i dimensions de cadascuna de les cares del políedre actiu amb l'opció Cares. Per exemple la figura 7.9 mostra el políedre dual de la cúpula geodèsica de freqüència 2 i la forma i dimensions de les seves cares.

Figura 7.9: Dual d'una cúpula geodèsica de freqüència 2
\includegraphics{c:/ramon/geome/dual2}