Exercicis i activitats

  1. Trobeu la característica d'Euler de les següents superfícies: una esfera, un cilindre amb una sola tapa, un cilindre sense tapes, un disc amb dos forats, un disc amb n forats, una banda de Möebius i d'un tor (superfície d'una rosquilla).

  2. Des de l'antiguitat se sap que hi ha cinc políedres regulars, el tetràedre, l'octàedre, el cub, el dodecàedre i l'icosàedre. Troba'n una justificació, utilitzant que la característica d'Euler de l'esfera és 2 i considerant que cada políedre regular és una subdivisió de l'esfera en polígons de n costats, de manera que en cada vèrtex hi concorren sempre m arestes (m, n$ \ge$3 fixes per cada políedre). 7.6Ompliu també la taula 7.1.

    Taula 7.1: Políedres regulars.
    políedre cares vèrtexs arestes
    tetràedre 4 4 6
    octàedre      
    cub      
    dodecàedre      
    icosàedre      

  3. Construeix el desenvolupaments plans del dodecàedre i del icosàedre a partir dels diagrames de Schlegel de la figura 7.10.

    Figura 7.10: Diagrama de Schlegel del dodecàedre i de l'icosàedre.

    \includegraphics{c:/ramon/geome/sche3}

  4. Dedueix el diagrama de Schlegel d'un antiprisma de base pentagonal i el desenvolupament pla. Construeix-ne un model amb cartolina.

  5. Dedueix el diagrama de Schlegel, el desenvolupament pla i feu una construcció amb cartolina dels políedres resultants al practicar truncaments del tipus 1 i de tipus 2 als cinc políedres regulars.
  6. Fent càlculs algebraics semblants a l'exemple 7.1, completeu la taula 7.2.

    Taula 7.2: Políedres arquimedians.
    Polígons en cada vèrtex vèrtexs arestes cares nom
    2 quad., 1 pentàgon 10 15 5 quad. i 2 pent. prisma pentagonal
    2 quad., 1 hexàgon        
    2 quad., 1 n-àgon        
    3 triang., 1 pentàgon 10 20 10 triang. i 2 pent. antiprisma pentagonal
    3 triang., 1 hexàgon        
    3 triang., 1 n-àgon        
    2 hexàgons, 1 triangle        
    2 hexàgons, 1 quadrat        
    2 hexàgons, 1 pentàgon        
    2 quadrats, 2 triangles        
    2 pentàgons, 2 triangles        
    2 octàgons, 1 triangle        
    2 decàgons, 1 triangle        
    3 quadrats, 1 triangle        
    1 pent., 2 quad., 1 triang.        
    1 quad., 1 hexàg., 1 octàg.        
    1 quad., 1 hexàg., 1 decàg.        
    4 triangles, 1 quadrat        
    4 triangles, 1 pentàgon        

  7. Es tracta de construir els diagrames de Schlegel dels políedres arquimedians de la taula 7.2. Es pot també iniciar la recerca de justificar que els únics possibles políedres arquimedians són els d'aquesta taula7.7.
  8. Comprova que el dual del punt P = (x1, y1, z1) és el pla d'equacions x1x + y1y + z1z = 1.
  9. Dibuixeu els diagrames de Schlegel, el desenvolupament pla i feu la construcció en cartolina dels 8 deltàedres convexos. Partirem dels dibuixos en perspectiva de la figura 7.11, a més amb el programa poliedres.exe es poden visualitzar i moure tots aquests políedres.

    Figura 7.11: Deltàedres convexos de 6, 10, 12, 14 i 16 cares.
    \includegraphics{c:/ramon/geome/delta2}

  10. Construeix els estelats dels deltàedres amb elements de papiroflèxia modular.

  11. Calculeu el número de cares, vèrtexs, arestes i ordre dels vèrtexs d'una cúpula icosaèdrica de freqüència n.
  12. Calculeu el número de cares, vèrtexs, arestes i ordre dels vèrtexs d'una cúpula octaèdrica de freqüència n.
  13. Calculeu les relacions entre les arestes i el radi de la cúpula geodèsica de freqüència 4 (vegeu figura 7.6), de la mateixa manera en què s'ha fet a l'apartat 7.7.2. També es pot intentar la construcció física del políedre que és una activitat de grup molt interessant; aquesta pràctica s'ha dut a terme amb èxit amb varetes de fusta de 4 mil·límetres de diàmetre, per enganxar les varetes en els vèrtexs hem utilitzat tub de goma negra de reg també de 4 mil·límetres, tal com s'indica en la figura 7.13 ([Alsina et al., 1991]).

    La solució de l'exercici i el diagrama d'Schlegel d'aquesta construcció està representat en la figura 7.12.

    Figura 7.12: Diagrama d'una cúpula icosaèdrica de freqüència 4
    \includegraphics{c:/ramon/geome/dia40}

    \includegraphics{c:/ramon/geome/reg}
    Figura 7.13: Esquema de la construcció física dels vèrtexs per enganxar les varetes.