Relaciˇ entre les distÓncies de la Terra a la Lluna i al Sol

Aristarc de Samos ($ \sim$310 aC-$ \sim$230 aC) proposÓ un sistema cosmol˛gic heliocŔntric anticipant-se a CopŔrnic en 1500 anys, malauradament no ha quedat res escrit d'aquest sistema, en canvi, ens ha quedat un tractat seu sobre la grandÓria i les distÓncies de la Terra al Sol i a la Lluna. L'escrit dedueix la relaciˇ entre les distÓncies de la Terra a la Lluna i al Sol d /l, mesurant l'angle $ \angle$LTS en l'instant en quŔ $ \angle$TLS = 90o, aquest instant es pot determinar des de la Terra ja que Ús el moment exacte en quŔ la Lluna es troba en quart creixent (o quart decreixent), observem per˛ que la determinaciˇ precisa Ús difÝcil d'establir des de la Terra.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/dissol}

Les mesures de l'Ŕpoca van ser de $ \angle$LTS = 87º, arribant a la conclusiˇ que el Sol estÓ entre 18 i 20 vegades (1/sin 3º) de distÓncia superior a la distÓncia entre la Terra i la Lluna. El valor estÓ lluny d'aproximar-se al vertader que Ús d'unes 400 vegades, el mŔtode Ús te˛ricament impecable per˛ tÚ l'inconvenient que un petit error en el cÓlcul de l'angle $ \angle$LTS (que Ús molt pr˛xim a 90º) provocà un error gran en el cÓlcul del resultat final de d /l.

La Lluna i el Sol tenen des de la Terra grandÓries aparents semblants (aproximadament 1/2 grau). Aquest fet implica que la relaciˇ entre els diÓmetres dels dos astres sigui la mateixa que la que hi ha entre les distÓncies, per tant Aristarc suposÓ Rs/Rl $ \approx$ 19, on Rs i Rl sˇn els radis del Sol i la Lluna respectivament.

Ja hem comentat que en els eclipsis de lluna es pot observar que l'ombra de la Terra Ús sempre circular, a mÚs, es pot mesurar el diÓmetre d'aquesta ombra respecte al diÓmetre de la Lluna, resultant ser aproximadament el doble.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/tamsol}

Amb aquestes dades i a partir de la semblanša dels triangles $ \triangle$AEB i $ \triangle$BPC es pot deduir la relaciˇ entre el radi del Sol Rs, el de la Terra Rt i el de la Lluna Rl, en efecte:

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{19}}$ = $\displaystyle {\frac{d}{l}}$ = $\displaystyle {\frac{PC}{EB}}$ = $\displaystyle {\frac{PB}{EA}}$ = $\displaystyle {\frac{R_t-2R_l}{R_s-R_t}}$

com que sabem Rs $ \approx$ 19Rl, podem calcular (vegeu exercici 2) les relacions Rs/Rt $ \approx$ 580/57 i Rl/Rt $ \approx$ 20/578.1.