Relació entre les distàncies de la Terra a la Lluna i al Sol

Aristarc de Samos ($\sim$310 aC-$\sim$230 aC) proposà un sistema cosmològic heliocèntric anticipant-se a Copèrnic en 1500 anys, malauradament no ha quedat res escrit d'aquest sistema, en canvi, ens ha quedat un tractat seu sobre la grandària i les distàncies de la Terra al Sol i a la Lluna. L'escrit dedueix la relació entre les distàncies de la Terra a la Lluna i al Sol d /l, mesurant l'angle $\angle$LTS en l'instant en què $\angle$TLS = 90^o, aquest instant es pot determinar des de la Terra ja que és el moment exacte en què la Lluna es troba en quart creixent (o quart decreixent), observem però que la determinació precisa és difícil d'establir des de la Terra.

 

Les mesures de l'època van ser de $\angle$LTS = 87º, arribant a la conclusió que el Sol està entre 18 i 20 vegades (1/sin 3º) de distància superior a la distància entre la Terra i la Lluna. El valor està lluny d'aproximar-se al vertader que és d'unes 400 vegades, el mètode és teòricament impecable però té l'inconvenient que un petit error en el càlcul de l'angle $\angle$LTS (que és molt pròxim a 90º) provocà un error gran en el càlcul del resultat final de d /l.

La Lluna i el Sol tenen des de la Terra grandàries aparents semblants (aproximadament 1/2 grau). Aquest fet implica que la relació entre els diàmetres dels dos astres sigui la mateixa que la que hi ha entre les distàncies, per tant Aristarc suposà R_s/R_l $\approx$ 19, on R_s i R_l són els radis del Sol i la Lluna respectivament.

Ja hem comentat que en els eclipsis de lluna es pot observar que l'ombra de la Terra és sempre circular, a més, es pot mesurar el diàmetre d'aquesta ombra respecte al diàmetre de la Lluna, resultant ser aproximadament el doble.

 

Amb aquestes dades i a partir de la semblança dels triangles $\triangle$AEB i $\triangle$BPC es pot deduir la relació entre el radi del Sol R_s, el de la Terra R_t i el de la Lluna R_l, en efecte:

$${\textstyle\frac{1}{19}}$$ = $${\frac{d}{l}}$$ = $${\frac{PC}{EB}}$$ = $${\frac{PB}{EA}}$$ = $${\frac{R_t-2R_l}{R_s-R_t}}$$

com que sabem R_s $\approx$ 19R_l, podem calcular (vegeu exercici 2) les relacions R_s/R_t $\approx$ 580/57 i R_l/R_t $\approx$ 20/57^8.1.