Visualització de l'esfera celest

En aquest apartat es pretén explicar alguna manera de donar una visualització plana que representi l'esfera celest, cal tenir present d'entrada que no hi cap representació plana de la superfície d'una esfera que conservi distàncies, per tant qualsevol representació de l'esfera celest en el pla tindrà certes ''distorsions''.

Una de les representacions que s'utilitza és la que es basa en la projecció estereogràfica: considerem en el punt nadir Z' i el pla $ \pi$ tangent en el zenit Z, per cada punt Q de l'esfera, tracem la recta Z'Q i la tallem amb el pla $ \pi$, el punt Q' és la imatge de Q per la projecció estereogràfica; aquesta projecció representa tota l'esfera celest sobre el pla $ \pi$ i presenta distorsions que són majors com més allunyat estigui el punt Q del zenit.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/estereo}
Prenent un sistema cartesià de referència es poden deduir les equacions de la projecció estereogràfica, en efecte:


Q = (x0, y0, z0) = (R cos h sin A, R cos h cos A, R sin h)  
Z' = (0, 0, - R)  
$\displaystyle \pi$ :  z = R  

llavors, la recta Z'Q té equacions:

$\displaystyle {\frac{x-x_0}{x_0}}$ = $\displaystyle {\frac{y-y_0}{y_0}}$ = $\displaystyle {\frac{z-z_0}{z_0+R}}$ = $\displaystyle \lambda$,

tallant amb el pla $ \pi$ resulta $ \lambda$ = $ \ds$$ {\frac{R-z_0}{R+z_0}}$ i Q' = (x0(1 + $ \lambda$), y0(1 + $ \lambda$), R), substituint el valor de $ \lambda$:

Q' = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2R
x_0}{R+z_0},\frac{2Ry_0}{R+z_0},R}\right.$$\displaystyle {\frac{2R
x_0}{R+z_0}}$,$\displaystyle {\frac{2Ry_0}{R+z_0}}$, R$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2R
x_0}{R+z_0},\frac{2Ry_0}{R+z_0},R}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2R\cos h\sin A}{1+\sin h},\frac{2R\cos h\cos A}{1+\sin
h},R}\right.$$\displaystyle {\frac{2R\cos h\sin A}{1+\sin h}}$,$\displaystyle {\frac{2R\cos h\cos A}{1+\sin
h}}$, R$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2R\cos h\sin A}{1+\sin h},\frac{2R\cos h\cos A}{1+\sin
h},R}\right)$

substituint els valors de h i A en funció de la latitud i les coordenades equatorials $ \delta$, H obtenim:

Q' = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2R\cos\delta\sin H}{1+\cos\delta\cos
H\cos\...
...i-\sin\delta\cos\phi)}{1+\cos\delta\cos
H\cos\phi+\sin\delta\sin\phi},R}\right.$$\displaystyle {\frac{2R\cos\delta\sin H}{1+\cos\delta\cos
H\cos\phi+\sin\delta\sin\phi}}$,$\displaystyle {\frac{2R(\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\delta\cos\phi)}{1+\cos\delta\cos
H\cos\phi+\sin\delta\sin\phi}}$, R$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2R\cos\delta\sin H}{1+\cos\delta\cos
H\cos\...
...i-\sin\delta\cos\phi)}{1+\cos\delta\cos
H\cos\phi+\sin\delta\sin\phi},R}\right)$,

aquesta fórmula permet conèixer els valors (x, y) de la projecció estereogràfica d'un astre situat en l'esfera celest coneguda la latitud $ \phi$, les coordenades equatorials absolutes $ \delta$$ \alpha$ i el temps sideri s atès que H = s - $ \alpha$. Els càlculs i la representació gràfica d'aquests astres es pot visualitzar amb el programa informàtic cel.exe.

Com ja hem comentat, la projecció estereogràfica comporta una distorsió gran si estem allunyats del zenit; si estem interessats en visualitzar una regió de l'esfera celest allunyada del zenit amb distorsions petites, es pot escollir l'opció visual del programa cel.exe que proporciona una projecció cilíndrica en la direcció OQ0 sobre el pla $ \pi_{0}^{}$ tangent a l'esfera en el punt Q0, on Q0 és el punt definit per les seves coordenades horitzontals h0 i A0:

Q0 = (x0, y0, z0) = (R cos h0cos A0, R cos h0sin A0, R sin h0)

\includegraphics{c:/ramon/geome/visual}
La projecció d'un punt Q1 = (x1, y1, z1), s'obté tallant la recta que passa per Q1 de direcció OQ0 amb el pla $ \pi_{0}^{}$:
$\displaystyle \pi_{0}^{}$ : x0x + y0y + z0z = R2  
    $\displaystyle \ds$$\displaystyle {\frac{x-x_1}{x_0}}$ = $\displaystyle {\frac{y-y_1}{y_0}}$ = $\displaystyle {\frac{z-z_1}{z_0}}$ = $\displaystyle \lambda$  

d'aquesta manera obtenim $ \lambda$ = $ \ds$$ \left(\vphantom{1-\frac{x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1}{R^2}}\right.$1 - $ {\frac{x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1}{R^2}}$$ \left.\vphantom{1-\frac{x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1}{R^2}}\right)$, que ens permet calcular el punt d'intersecció Q'1 = (x, y, z), per calcular les coordenades cartesianes (x', y') sobre el pla $ \pi_{0}^{}$, cal practicar un gir d'angle - A0 al voltant de l'eix Oz i després un altre gir d'angle 90 - h0 al voltant de l'eix Ox; aquests càlculs els fa automàticament l'opció visual del programa informàtic mencionat.8.6