Rellotge horitzontal

Suposem que volem construir un rellotge solar en un pla horitzontal, (inclinació=0o, altura=90o. Si no hi ha obstacles el Sol fa ombra en el pla horitzontal des del moment de la sortida fins l'ocàs en totes les èpoques de l'any, per tant un rellotge d'aquest tipus ens marcarà l'hora en el màxim possible d'hores. Prenem un gnòmon de longitud l perpendicular al pla horitzontal i considerem les coordenades cartesianes (x, y, z) i les horitzontals h i A sobre l'esfera celest.

L'extrem del gnòmon serà l'índex de l'estilet del rellotge solar; les coordenades de l'índex són Q = (0, 0, l ); si el Sol es troba en un punt de coordenades horitzontals hA, les coordenades cartesianes (xs, ys, zs) del Sol en l'esfera celest (de radi arbitrari R) són:

(xs, ys, zs) = R(cos h sin A, cos h cos A, sin h)
  = R(cos$\displaystyle \delta$sin H, cos$\displaystyle \delta$cos H sin$\displaystyle \phi$ - sin$\displaystyle \delta$cos$\displaystyle \phi$, cos$\displaystyle \delta$cos H cos$\displaystyle \phi$ + sin$\displaystyle \delta$sin$\displaystyle \phi$)
  = R(v1, v2, v3)
(8.5)

 

Figura 8.10: Ombra d'un gnòmon en un rellotge horitzontal
\includegraphics{c:/ramon/geome/horit}

Considerant els raigs de Sol paral.lels, per trobar el punt Q2 ombra de l'índex de l'estilet cal trobar la intersecció de la recta que passa per Q amb la direcció (v1, v2, v3) amb el pla z = 0:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\ds\frac{x}{v_1}=\frac{y}{v_2}=\frac{z-l}{v_3}=t\\
z=0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
\ds\frac{x}{v_1}=\frac{y}{v_2}=\frac{z-l}{v_3}=t\\
z=0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\ds\frac{x}{v_1}=\frac{y}{v_2}=\frac{z-l}{v_3}=t\\
z=0
\end{array}}\right\}$

per tant t = - l /v3 (observem que la condició perquè el Sol estigui per damunt de l'horitzó és t < 0 i per tant v3 > 0) les coordenades del punt Q2 = (x, y) són:

x = $\displaystyle \ds$ - l $\displaystyle {\frac{v_1}{v_3}}$ = - l $\displaystyle {\frac{\cos\delta\sin h}{\cos\delta\cos H\cos\phi+\sin\delta\sin\phi}}$
y = $\displaystyle \ds$ - l $\displaystyle {\frac{v_2}{v_3}}$ = - l $\displaystyle {\frac{\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\delta\cos\phi}{\cos\delta\cos H\cos\phi+\sin\delta\sin\phi}}$
(8.6)

Aquestes equacions permeten trobar les línies horàries fent H=constant i fent variar $ \delta$ entre els límits - $ \epsilon$ i + $ \epsilon$ on $ \epsilon$ és l'obliqüitat de l'eclíptica; per H = 0 h obtenim la línia horària de les 12 h, per H = - 1 h la línia de les 11h ....

Per trobar les línies del calendari, o sigui, la trajectòria que descriu l'ombra de l'índex de l'estilet un dia determinat, cal fer $ \delta$=constant, així per $ \delta$ = 0 obtenim l'ombra en els equinoccis (línia equinoccial) mentre que per $ \delta$ = ±$ \epsilon$ obtenim les ombres en els solsticis.

L'estilet ha de seguir la direcció de l'eix del món, per tant, l'angle amb el pla horitzontal ha de ser igual a la latitud $ \phi$; aquesta observació permet conèixer el lloc i la inclinació on s'ha de col·locar l'estilet, també es poden trobar les coordenades d'aquest punt substituint a les equacions 8.6 el valor $ \delta$ = 90o, obtenint x = 0, y = l /tan$ \phi$.

Figura 8.11: Disposició de l'estilet en un rellotge de Sol horitzontal
\includegraphics{c:/ramon/geome/estilet}

La figura 8.12 representa l'esfera d'un rellotge solar horitzontal, estan dibuixades les línies del calendari (solsticis, equinoccis i els canvis de signes zodiacals), així com l'analema per cada hora; aquesta figura ha estat generada amb el programa rellotge.exe amb l'opció esfera general; una vegada s'ha generat el dibuix del rellotge, s'ha exporta en format Postscript i després es pot editar amb el programa de disseny Corel-Draw. En aquesta figura hi ha també les dades l /q, r/q i Alfa on l és la distància de l'índex al pla horitzontal, r és la longitud de l'estilet, q la longitud del costat del quadrat on s'ha dibuixat el rellotge i Alfa l'angle que forma l'estilet amb el pla del rellotge, així com els punts A i B on s'ha d'ubicar l'estilet (vegeu la figura 8.11).

En la representació de la corba de l'analema s'ha considerat també la correcció corresponent a la longitud geogràfica i estan calculades de manera que en el moment en que l'ombra de l'índex de l'estilet caigui al damunt de l'analema, l'hora oficial sigui la que marca la línia de l'analema amb una diferència exacta d'una hora en l'horari d'hivern i de dues hores en l'horari d'estiu (vegeu l'equació 8.4 de la pàgina [*]).

 

Figura 8.12: Quadrant d'un rellotge de Sol horitzontal
\includegraphics{c:/ramon/geome/rehori}