Rellotge vertical declinant

A continuació treballarem la construcció d'un rellotge de Sol sobre una paret vertical (inclinació=90^o, altura=0^o), amb una orientació Azimut=A₀,

Figura 8.16: Ombra d'un gnòmon sobre una paret vertical declinant

Una paret o pla vertical amb orientació Azimut=A₀ direm que és un pla vertical declinant. Les coordenades rectangulars naturals sobre aquest pla vertical són (x', y', z), on z és la vertical del lloc, x' la intersecció del pla horitzontal i el pla vertical declinant i y' la perpendicular al pla Ox'z la relació entre aquestes coordenades i les coordenades horitzontals (x, y, z) és:

$$\left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&x\cos A_0-y\sin A_0\ y'&=&x\sin A_0+y\cos A_0 \end{array}}\right. \begin{array}{rcl} x'&=&x\cos A_0-y\sin A_0\ y'&=&x\sin A_0+y\cos A_0 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&x\cos A_0-y\sin A_0\ y'&=&x\sin A_0+y\cos A_0 \end{array}}\right\}$$ (8.8)

Treballarem primer amb les coordenades (x, y, z) i després amb les equacions 8.8 calcularem (x', y', z). L'índex de l'estilet Q es troba com sempre a una distància l del pla vertical, per tant Q = (l sin A₀, l cos A₀, 0); el pla de la superfície vertical declinant té equació x sin A₀ + y cos A₀ = 0; llavors les coordenades de l'extrem de l'ombra de l'estilet Q₂ es pot trobar resolent el sistema:

$$\left.\vphantom{\begin{array}{l} \ds\frac{x-l\sin A_0}{v_1}=\frac{y-l\cos A_0}{v_2}=\frac{z}{v_3}=t\\ x\sin A_0+y\cos A_0=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} \ds\frac{x-l\sin A_0}{v_1}=\frac{y-l\cos A_0}{v_2}=\frac{z}{v_3}=t\\ x\sin A_0+y\cos A_0=0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{l} \ds\frac{x-l\sin A_0}{v_1}=\frac{y-l\cos A_0}{v_2}=\frac{z}{v_3}=t\\ x\sin A_0+y\cos A_0=0 \end{array}}\right\}$$,

el valor de t resulta t = - l /(v₁sin A₀ + v₂cos A₀); (observem que la condició perquè la superfície estigui il·luminada és t < 0 i per tant, v₁sin A₀ + v₂cos A₀ > 0 i v₃ > 0), d'aquesta manera obtenim les coordenades (x, y, z) del punt Q₂:

$$\left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x&=&-l v_1/(v_1\sin A_0+v_2\co... ...s A_0)+ l \cos A_0\\ z&=&-l v_3/(v_1\sin A_0+v_2\cos A_0) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcl} x&=&-l v_1/(v_1\sin A_0+v_2\cos A_0)+ l \sin A... ...0+v_2\cos A_0)+ l \cos A_0\\ z&=&-l v_3/(v_1\sin A_0+v_2\cos A_0) \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x&=&-l v_1/(v_1\sin A_0+v_2\co... ... A_0)+ l \cos A_0\\ z&=&-l v_3/(v_1\sin A_0+v_2\cos A_0) \end{array}}\right\}$$

substituint a les equacions del canvi de coordenades 8.8, obtenim les coordenades (x', y', z) de Q₂:

$$\left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&-l \ds\frac{ v_1\cos A_0... ... y'&=&0\\ z&=&-l \ds\frac{v_3}{v_1\sin A_0+v_2\cos A_0} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcl} x'&=&-l \ds\frac{ v_1\cos A_0-v_2\sin A_0}{v_... ... A_0}\\ y'&=&0\\ z&=&-l \ds\frac{v_3}{v_1\sin A_0+v_2\cos A_0} \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&-l \ds\frac{ v_1\cos A_0... ... y'&=&0\\ z&=&-l \ds\frac{v_3}{v_1\sin A_0+v_2\cos A_0} \end{array}}\right\}$$,

que en funció de $\delta$ i H són:

$$\left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&-l \ds\frac{\cos\delta\s... ...A_0+(\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\delta\cos\phi)\cos A_0} \end{array} }\right. \begin{array}{rcl} x'&=&-l \ds\frac{\cos\delta\sin H\cos A_0-(\c... ...in H\sin A_0+(\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\delta\cos\phi)\cos A_0} \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&-l \ds\frac{\cos\delta\s... ..._0+(\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\delta\cos\phi)\cos A_0} \end{array} }\right\}$$ (8.9)

Les coordenades del punt on l'estilet està ancorat a la paret s'obtenen substituint $\delta$ = 90^o, resultant x' = l tan A₀ i z = l tan$\phi$/cos A₀.

La primera de les equacions 8.9 permet calcular l'azimut d'una paret vertical qualsevol, ja que si H = 0, resulta:

$$\Ra$$ (8.10)

per tant, per trobar A₀, cal esperar el migdia solar vertader (H = 0) i mesurar el desplaçament x' respecte de la vertical de l'ombra d'un estilet de longitud l col·locat perpendicular a la paret, aquest desplaçament es pren negatiu si l'ombra ha passat la vertical de la paret i positiu en cas contrari, l'activitat 13 proposa el càlcul de l'azimut d'una paret on es podria ubicar un rellotge de Sol.

 

La mateixa equació ens permet calcular l'azimut A₀ sense necessitat d'esperar al migdia solar. En efecte si coneixem H, $\delta$ i $\phi$, aïllant tan A₀ resulta:

tan A₀ = $${\frac{\cos\delta\sin H +(x'/l)(\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\del... ...os\phi)}{(\cos\delta\cos H\sin\phi-\sin\delta\cos\phi)-(x'/l)\cos\delta\sin H}}$$

per conèixer amb precisió la declinació del sol en el dia que fem les mesures, cal consultar l'anuari corresponent o consultar la taula 8.2, mentre que per saber l'hora oficial del migdia solar vertader del lloc, es pot aplicar la fórmula T_o = T_v + $\eta$ - $\lambda$ + (1o2hores), substituint T_v = 12h i $\eta$ pel seu valor en el dia corresponent que es pot trobar en la taula 8.1.

La figura 8.17 que hi ha a continuació representa l'esfera d'un rellotge solar vertical declinant, estan dibuixades les línies del calendari (solsticis, equinoccis i els canvis de signes zodiacals), així com l'analema per cada hora; aquesta figura ha estat generada amb el programa rellotge.exe amb l'opció esfera general; una vegada s'ha generat el dibuix del rellotge, s'ha exportat en format Postscript i després editat amb el programa de dibuix Corel-Draw. En aquesta figura hi ha també les dades l /q, r/q i Alfa on l és la distància de l'índex al pla horitzontal, r és la longitud de l'estilet, q la longitud del costat del quadrat on s'ha dibuixat l'esfera del rellotge i Alfa l'angle que forma l'estilet amb el pla del rellotge, així com els punts punts A i B on s'ha d'ubicar l'estilet (vegeu la figura 8.14).

En la representació de les línies de l'analema s'ha considerat també la correcció corresponent a la longitud geogràfica i estan calculades de manera que en el moment en que l'ombra de l'índex de l'estilet caigui al damunt de l'analema, l'hora oficial sigui la que marca la línia de l'analema amb una diferència exacta d'una hora en l'horari d'hivern i de dues hores en l'horari d'estiu (vegeu l'equació 8.4 de la pàgina ).

 

Figura 8.17: Rellotge vertical declinant a l'oest (Azimut=60^o 30 minuts)