Rellotge inclinat declinant

Per acabar considerarem la construcció d'un rellotge de Sol sobre una paret inclinada amb inclinació=$ \alpha$, altura h0 = 90o - $ \alpha$ i una orientació Azimut=A0.

 

Figura 8.18: Ombra d'un gnòmon en una superfície declinant inclinada
\includegraphics{c:/ramon/geome/qualse}

Les coordenades rectangulars naturals sobre el pla inclinat declinant són (x'', y'', z''), on l'eix Ox'' és la intersecció del pla horitzontal amb el pla inclinat, l 'eix Oy'' la intersecció amb el pla vertical perpendicular a Ox'' i l'eix Oz'' la normal al pla Ox''y''.

Les relacions entre les coordenades (x, y, z) i (x'', y'', z'') es poden trobar primer calculant (x', y', z') que són les coordenades que resulten després de practicar un gir al voltant de Oz d'angle A0:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x&=&x'\cos A_0+y'\sin A_0\  y&=&-x'\sin A_0+y'\cos A_0\  z&=&z' \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x&=&x'\cos A_0+y'\sin A_0\  y&=&-x'\sin A_0+y'\cos A_0\  z&=&z' \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x&=&x'\cos A_0+y'\sin A_0\  y&=&-x'\sin A_0+y'\cos A_0\  z&=&z' \end{array}}\right\}$ (8.11)

i després calculant (x'', y'', z'') que resulten de practicar un gir al voltant de Ox' d'angle $ \alpha$ = 90o - h0, així:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&x''\  y'&=&y''\sin h_0 + z''\cos h_0\  z'&=&-y''\cos h_0+ z''\sin h_0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x'&=&x''\  y'&=&y''\sin h_0 + z''\cos h_0\  z'&=&-y''\cos h_0+ z''\sin h_0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x'&=&x''\  y'&=&y''\sin h_0 + z''\cos h_0\  z'&=&-y''\cos h_0+ z''\sin h_0 \end{array}}\right\}$ (8.12)

Substituint les equacions 8.12 en 8.11, s'obté la relació entre (x'', y'', z'') i (x, y, z) resultant:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x''&=&x\cos A_0- y\sin A_0\  ...
...0\  z''&=&x\cos h_0\sin A_0+ y\cos h_0\cos A_0+ z \sin h_0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x''&=&x\cos A_0- y\sin A_0\  y''&=&x\sin h_0\...
...z\cos h_0\  z''&=&x\cos h_0\sin A_0+ y\cos h_0\cos A_0+ z \sin h_0 \end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl} x''&=&x\cos A_0- y\sin A_0\  ...
...\  z''&=&x\cos h_0\sin A_0+ y\cos h_0\cos A_0+ z \sin h_0 \end{array}}\right\}$ (8.13)

Treballarem primer amb les coordenades (x, y, z) i després amb les equacions anteriors calcularem (x'', y'', z''). L'índex de l'estilet Q es troba a una distància l del pla inclinat declinant i el vector normal al pla té coordenades (cos h0sin A0, cos h0cos A0, sin h0) per tant Q = (l cos h0sin A0, l cos h0cos A0, l sin h0) el pla de la superfície inclinada declinant té equació x cos h0sin A0 + y cos h0cos A0 + z sin h0 = 0.

En un cert moment del dia en què el Sol té una declinació $ \delta$ i angle horari H, les seves coordenades (v1, v2, v3) són (vegeu  8.5 a la pàgina [*]):

(v1, v2, v3) = R(cos$\displaystyle \delta$sin H, cos$\displaystyle \delta$cos H sin$\displaystyle \phi$ - sin$\displaystyle \delta$cos$\displaystyle \phi$, cos$\displaystyle \delta$cos H cos$\displaystyle \phi$ + sin$\displaystyle \delta$sin$\displaystyle \phi$)

llavors les coordenades de l'extrem de l'ombra de l'estilet Q2 es poden trobar resolent el sistema:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\ds\frac{x-l\cos h_0\sin A_0}{v_...
...v_3}=t\\
x\cos h_0\sin A_0+y\cos h_0\cos A_0+ z\sin h_0=0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
\ds\frac{x-l\cos h_0\sin A_0}{v_1}=
\frac{y-l\co...
...in h_0}{v_3}=t\\
x\cos h_0\sin A_0+y\cos h_0\cos A_0+ z\sin h_0=0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\ds\frac{x-l\cos h_0\sin A_0}{v_...
..._3}=t\\
x\cos h_0\sin A_0+y\cos h_0\cos A_0+ z\sin h_0=0
\end{array}}\right\}$,

resolent el sistema d'equacions i substituint a les equacions del canvi de coordenades 8.13, obtenim les coordenades (x'', y'', z') de l'ombra de l'índex de l'estilet

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
x''&=&-l\,\ds\frac{v_1\cos A_0...
...os h_0\sin A_0+v_2\cos h_0\cos A_0+v_3\sin h_0}\\
z''&=&0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
x''&=&-l\,\ds\frac{v_1\cos A_0-v_2\sin A_0}
{v...
...}
{v_1\cos h_0\sin A_0+v_2\cos h_0\cos A_0+v_3\sin h_0}\\
z''&=&0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
x''&=&-l\,\ds\frac{v_1\cos A_0...
...s h_0\sin A_0+v_2\cos h_0\cos A_0+v_3\sin h_0}\\
z''&=&0
\end{array}}\right\}$,

substituint (v1, v2, v3) pel seu valor en funció de H$ \delta$ obtenim les equacions que expressen (x'', y'') en funció de H$ \delta$.

Les coordenades del punt on l'estilet està ancorat a la paret s'obtenen substituint $ \delta$ = 90o, resultant

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
x''&=&-l \ds\frac{\cos\phi\si...
...i\cos h_0}
{-\cos\phi\cos h_0\cos A_0+\sin\phi\sin h_0}\\
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
x''&=&-l \ds\frac{\cos\phi\sin A_0}
{-\cos\ph...
...-\sin\phi\cos h_0}
{-\cos\phi\cos h_0\cos A_0+\sin\phi\sin h_0}\\
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}
x''&=&-l \ds\frac{\cos\phi\si...
...\cos h_0}
{-\cos\phi\cos h_0\cos A_0+\sin\phi\sin h_0}\\
\end{array}}\right\}$,

Com es pot comprovar els càlculs són bastant feixucs, afortunadament aquests càlculs es poden fer de manera automàtica amb un ordinador. El programa rellotge.exe fa els càlculs i dibuixa les línies horàries, de calendari i l'analema per una localització determinada a partir de les dades de la superfície on s'ha d'ubicar el rellotge (inclinació i azimut A0).

La figura 8.19 que hi ha a continuació representa l'esfera d'un rellotge solar vertical declinant, estan dibuixades les línies del calendari (solsticis, equinoccis i els canvis de signes zodiacals), així com l'analema per cada hora; aquesta figura ha estat generada amb el programa rellotge.exe amb l'opció esfera general; una vegada s'ha generat el dibuix del rellotge, s'ha exportat en format Postscript i després editat amb el programa de dibuix Corel-Draw. En aquesta figura hi ha també les dades l /q, r/q i Alfa on l és la distància de l'índex al pla horitzontal, r és la longitud de l'estilet, q la longitud del costat del quadrat on s'ha dibuixat l'esfera del rellotge i Alfa l'angle que forma l'estilet amb el pla del rellotge, així com els punts punts A i B on s'ha d'ubicar l'estilet.

En la representació de les línies de l'analema s'ha considerat també la correcció corresponent a la longitud geogràfica i estan calculades de manera que en el moment en que l'ombra de l'índex de l'estilet caigui al damunt de l'analema, l'hora oficial sigui la que marca la línia de l'analema amb una diferència exacta d'una hora en l'horari d'hivern i de dues hores en l'horari d'estiu (vegeu l'equació 8.4 de la pàgina [*]).

 

Figura 8.19: Rellotge inclinat declinant (Azimut=60o, inclinació=30o)
\includegraphics{c:/ramon/geome/reincli}