Alguns teoremes sobre quadrilàters


\begin{teorema}
La suma dels angles interiors d'un quadrilàter és de $360^\circ$.
\end{teorema}
En efecte, només cal dividir el quadrilàter en dos triangles $ \triangle$ABD i $ \triangle$BDC i observar que la suma dels 4 angles interiors al quadrilàter, és la suma dels angles dels dos triangles i per tant,

$\displaystyle \angle$A + $\displaystyle \angle$B + $\displaystyle \angle$C + $\displaystyle \angle$D = 180o + 180o = 360o

    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/suma4}


\begin{teorema}
Un paral·lelogram té els costats i angles oposats iguals.
\end{teorema}
Aplicant el criteri de congruència ACA als triangles $ \triangle$ABD i $ \triangle$CDB, resulta AB = CD i AD = BC i $ \angle$A = $ \angle$C.    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/teorema1}


\begin{teorema}
Si $\triangle ABC$\ és un triangle qualsevol i $M$, $N$\ els
pun...
...rightarrow{MN}$\ és
paral·lela a la recta $\overleftrightarrow{AC}$\end{teorema}
En efecte, prenem el punt mitjà M del segment $ \overline{AB}$; r la recta paral·lela a $ \overleftrightarrow{AC}$ que passa per M i s la recta paral·lela a BC que passa també per M, aquestes rectes tallen els costats $ \overline{BC}$ i $ \overline{AC}$ en punts que escriurem P i Q. Per justificar el teorema, cal veure que P és el punt mitjà del $ \overline{BC}$, o sigui P = N; aplicant el criteri ACA resulta que $ \triangle$AQM és congruent amb $ \triangle$MPB, per tant MQ = BP, com MQCP és un paral·lelogram, resulta que MQ=PC, per tant BP = PC, o sigui P és el punt mitjà de $ \overline{BC}$.    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/mitjanes}

Observem que els quatre triangles $ \triangle$AMQ, $ \triangle$MBP, $ \triangle$QPC i $ \triangle$PQM en què queda dividit el triangle inicial són congruents.

Els segments que uneixen cada vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat, s'anomenen mitjanes, Arquimedes ($ \sim$ 287 aC-212 aC) justificà d'una manera molt simple i elegant que el centre de gravetat d'un triangle s'ha de trobar precisament en aquest segments, en efecte, només cal observar la figura que hi ha a continuació, el centre de gravetat d'un segment és el seu punt mitjà, llavors podem pensar que tota la ''massa'' del triangle es troba en la mitjana que hem dibuixat, per tant el centre de masses del triangle, també està en aquesta mitjana

\includegraphics{c:/ramon/geome/arquime}

El teorema que demostrarem a continuació justifica que les mitjanes es tallen en un punt que anomenarem baricentre, o centre de masses.
\begin{teorema}
Les mitjanes d'un triangle qualsevol es tallen en un punt anomen...
...ix cada mitjana en dues parts de longitud una el doble de l'altra.
\end{teorema}
Observem la figura adjunta on estan dibuixades dues mitjanes AN i MC que es tallen en un punt G, prenem Q i R els punts mitjans dels segments AG i CG, sabem que MN = AP = QR (vegeu el teorema 1.3). Aplicant el criteri ACA, resulta que els triangles $ \triangle$GMN i $ \triangle$GQR són congruents, la qual cosa implica que MG = GQ = QC, per tant el punt G en que es tallen les dues mitjanes està determinat pel fer que divideix la mitjana MC en dues parts que estan en proporció 1 : 2, com aquest propietat s'ha de complir també pel punt d'intersecció de la mitjana MC amb la mitjana BP, resulta que el punt d'intersecció de BP i MC és també el punt G.    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/mitja2}

Observa la construcció d'un triangle amb les mitjanes, el baricentre i les longituds dels segments corresponents, comprova el resultat del teorema anterior.

Baricentre d'un triangle


\begin{teorema}
Les diagonals d'un paral·lelogram es tallen en el punt mitjà.
\end{teorema}
En efecte, aplicant el criteri de congruència ACA als triangles $ \triangle$APB i $ \triangle$CPD s'obté:

AP = PC        i        BP = PD,

i per tant, P és el punt mitjà de les diagonals.    $ \Box$

 

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/teorema2}

Observa la construcció d'un parl·lelogram amb les diagonals, comprova que les diagonals es tallen en el punt mitjà.

Intersecció de les diagonals d'un paral·lelogram


\begin{teorema}
Un rombe (quadrilàter amb els quatre costats iguals)
és un paral·lelogram
i té les diagonals perpendiculars.
\end{teorema}
En aplicar el criteri de congruència CCC als triangles $ \triangle$ADB i $ \triangle$CDB, s'obtenen les igualtats del angles marcats a la figura adjunta, com $ \angle$1 + $ \angle$2 + $ \angle$2 = 180o, resulta que $ \angle$B + $ \angle$C = 180o i per tant els costats $ \overline{AB}$ i $ \overline{CD}$ són paral·lels, de la mateixa manera $ \overline{BC}$ és paral·lel a $ \overline{AD}$.    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/teorema3}

Per demostrar que les diagonals són perpendiculars, només cal observar que els triangles $ \triangle$APB i $ \triangle$CPB són congruents per aplicació del criteri CCC , per tant, $ \angle$3 = $ \angle$4, o sigui que les diagonals es tallen perpendicularment, ja que $ \angle$3 + $ \angle$4 = 180o.    $ \Box$

 

\includegraphics{{c:/ramon/geome/teo3bis}}


\begin{teorema}
Un rectangle és un paral·lelogram i té les diagonals iguals.
\end{teorema}
En efecte, al ser $ \angle$A i $ \angle$D rectes, són suplementaris i per tant els costats $ \overline{A}$C i $ \overline{B}$D són paral·lels, de la mateixa manera es dedueix que $ \overline{B}$C és paral·lel a $ \overline{A}$D.

Per justificar que les diagonals són iguals, ens podem fixar en els triangles $ \triangle$BAD i $ \triangle$CDA que són congruents per aplicació del criteri CAC.    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/rectan}