Mosaics regulars

El mosaics aresta-aresta formats per polígons regulars d'un sol tipus (monoèdrics) s'anomenen mosaics regulars.

La condició per tal que un polígon regular emmosaiqui el pla és que l'angle $ \alpha$ que formen els costats del polígon sigui divisor de 360o, d'aquesta manera si k$ \alpha$ = 360o, caldran k polígons regulars en cada vèrtex; l'angle que formen dues arestes consecutives d'un polígon regular de n costats és 180o(n - 2)/n, (vegeu l'activitat 19) llavors:

k$\displaystyle \left\{\vphantom{\frac{n-2}{n}}\right.$$\displaystyle {\frac{n-2}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{n-2}{n}}\right\}$180o = 360o $\displaystyle \Rightarrow$ k(n - 2) = 2n

per tant n - 2 ha de dividir 2n, la qual cosa es compleix si:
  1. n = 3 i k = 6, mosaic regular format per triangles equilàters,
  2. n = 4 i k = 4, mosaic regular format per quadrats,
  3. n = 6 i k = 3, mosaic regular format per hexàgons regulars,
en canvi si n > 6, llavors n - 2 > 4 i:

$\displaystyle {\frac{2n}{n-2}}$ = $\displaystyle {\frac{2(n-2)+4}{n-2}}$ = 2 + $\displaystyle {\frac{4}{n-2}}$

per tant 2 < 2n/(n - 2) < 3, o sigui (n - 2) no és divisor de 2n

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/mregu}