Dualitat

Suposem que partim d'un mosaic aresta-aresta, format per polígons regulars; prenem un punt PT en en el centre de cadascuna de les rajoles T; els punts PT són els vèrtexs d'un nou mosaic que s'anomena mosaic dual, per trobar les arestes del nou mosaic, cal unir cada punt PT amb els PT' sempre que que T i T' estiguin unides al mosaic original per una aresta.

En la figura que hi ha a continuació podeu observar, la construcció de les rajoles del mosaic dual del mosaic semiregular 3·6·3·6, totes les rajoles del mosaic dual són iguals (rombes d'angles 60o i 120o), en canvi els vèrtexs del mosaic són diferents ja que en uns hi arriben 6 rombes (amb els angles de 60o) mentre que en els altres hi arriben 3 rombes (amb els angles de 120o).

\includegraphics{c:/ramon/geome/mdual1}

Per calcular la rajola del mosaic dual, es pot fer la següent construcció: Prenem la circumferència amb centre en un vèrtex i i que passa pels punts mitjans de les arestes que hi concorren, a continuació es tracen les tangents a la circumferència que passen per aquests punts, el polígon que resulta és la rajola del mosaic dual.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mdual2}

Per tant, si pensem en la construcció de les rajoles duals dels mosaics semiregulars, veurem que totes tenen una circumferència inscrita, o sigui que les bisectrius interiors dels angles són concurrents en un punt que és l'incentre del polígon.