Exercicis i activitats.

1. Dibuixeu sobre un full de paper dues rectes paral·leles i una secant, retalleu els vuit angles $\angle$1, $\angle$2, $\angle$3, $\angle$4, $\angle$5, $\angle$6, $\angle$7, $\angle$8; seleccioneu i classifiqueu els angles iguals.
2. Ja sabeu que un triangle no té cap diagonal, un quadrilàter en té dues; observeu que en un polígon convex de n costats, des de qualsevol vèrtex surten dos costats i n - 3 diagonals. Calculeu quantes diagonals té un polígon convex de n costats.
3. Dibuixa si és possible un triangle que compleixi les condicions de la fila i la columna corresponent.

   	Equilàter	Isòsceles	Escalè
   Acutangle
   Rectangle
   Obtusangle

4. Construeix en un full de paper un triangle que tingui costats a = 6cm, b = 7cm i $\angle$C = 82^o i comprova que és congruent amb un altre triangle que té les mateixes dades (per exemple algun triangle que hagi construït algun dels teus companys).

5. Dibuixa en un paper un triangle isòsceles, retalla els angles i comprova que són iguals els que són oposats als costats iguals.

   El següent applet mostra la construcció d'un triangle isòsceles donat l'angle $\angle$A i els costats b = c. Observa el valor de $\angle$B i $\angle$C al variar les dades inicials.

   
   

6. A partir del teorema "pons asinorum", raona que un triangle equilàter ha de ser equiangle, o sigui, ha de tenir els tres angles iguals, i per tant ha de ser regular.

7. Dibuixa en un full de paper un triangle qualsevol, retalla els angles i comprova que sumen un angle pla, posant-los de manera consecutiva.

8. Són tots els triangles equilàters congruents? Quina és la mesura de cada angle d'un triangle equilàter? Comprova el resultat dibuixant un triangle equilàter i mesurant cada angle amb un transportador. Feu també la construcció amb el programa i comproveu el resultat.

9. Construeix en un full de paper un triangle que tingui costat c = 6cm i angle adjacents $\angle$A = 48^circ i C = 82^o, comprova que és congruent amb un altre triangle que té les mateixes dades (per exemple algun triangle que hagi construït algun dels teus companys).

10. Observa la construcció d'un triangle donat un costat i els dos angles adjacents. Quines restriccions han de complir les dades inicials per tal que es pugui construir el triangle?
11. Dibuixa en un paper un triangle tal que, $\angle$B = $\angle$C = 70^o retalla els costats i comprova que són iguals els que són oposats als angles iguals (o sigui b = c).

12. A partir del recíproc del teorema ''Pons asinorum'', raona que un triangle equiangle ha de ser equilàter.

13. Es pot experimentar el criteri CCC amb el fet que el triangle és una figura ''rígida''. Podem comprovar-ho construint un triangle amb tres tires d'algun material (per exemple el Mecano); encara que no premem fortament els vèrtexs, resulta que la figura és rígida, podem interpretar aquesta propietat amb el fet que només hi ha un triangle amb les longituds donades (criteri CCC). Comproveu que aquesta propietat no es compleix per un altre polígon (quadrilàter, pentàgon...). Quina solució es pot prendre per tal que de fer rígida una estructura que tingui forma d'un polígon de més de tres costats?

    Observa la construcció del triangle donats els tres costats. Quines restriccions han de complir les dades inicials per tal que es pugui construir el triangle?

14. Construeix en un full de paper un triangle que tingui costats a = 5 cm, b =7 cm c = 6 cm, comprova que és congruent amb un altre triangle que té les mateixes dades (per exemple algun triangle que hagi construït algun dels teus companys).

15. Es tracta de classificar quadrilàters, seguint diversos criteris com són el nombre de costats iguals o el d'angles iguals, en concret s'ha de completar la taula següent amb el nom o dibuix del possibles quadrilàters que compleixen les condicions de la fila i columna corresponent:

    	Els quatre costats iguals	Costats iguals dos a dos	Altres casos
    Els quatre angles iguals
    Angles iguals dos a dos
    Altres casos

    Observa l'applet que hi ha a continuació on apareix un quadrilàter amb les seves diagonals, hi ha quadrilàters tals que les diagonals no es tallen? Quins són aquests tipus de quadrilàters?

    Quadrilàter amb les diagonals
    

16. Construeix un triangle en una cartolina qualsevol, marca el baricentre i fes-ne un petit forat amb una agulla, penja el triangle per un fil que passi pel baricentre i observa que el triangle es manté en equilibri de manera horitzontal. Fes el mateix per un altre punt i observa que la posició d'equilibri no és horitzontal.

17. Feu una construcció amb el programa de manera que aparegui un triangle les mitjanes, el baricentre i les longituds que van des de el baricentre a cada vèrtex i des de el baricentre als punt mitjans de cada costat del triangle.

18. Raoneu a partir dels teoremes 1.6 i 1.7 que un quadrat té les diagonals iguals i que es tallen perpendicularment.

19. Retalla diversos polígons regulars en cartolina (triangles, quadrats, pentàgons, hexàgons, octàgons...) i intenta formar diversos tipus de mosaics.

20. Calcula l'angle interior dels diversos polígons regulars, triangle, quadrat, pentàgon, hexàgon,...i dedueix una fórmula que dóna la mesura del angle interior d'un polígon regular de n costats.
21. Calculeu els angles interiors d'un polígon estelat polígon estelat {n/k}.
    

22. Descriu de la manera més clara possible el polígon estelat {n/k}, en el cas en què k sigui un divisor de n. Quina condició s'ha de complir per tal que el polígon estelat {n/k}, tingui una sola component (no degenerat)? Quants polígons regulars estelats no degenerats {n/k} hi ha per 3$\le$n$\le$15?

23. Si prenem dos pentàgons i un decàgon amb un vèrtex comú, la suma dels angles és 108^o + 108^o + 144^o = 360^o, en canvi no hi ha un mosaic semiregular de manera que cada vèrtex tingui aquesta disposició. Justifiqueu aquesta última afirmació.
    

24. Raoneu que només hi ha 8 mosaics semiregulars, que són aresta-aresta i formats per polígons regulars de manera que tots els vèrtex siguin iguals, o sigui que en cada vèrtex hi arribin els mateixos polígons disposats de la mateixa manera (a menys d'una permutació circular). El problema plantejat en aquesta activitat no és senzill, primer s'han de trobar totes les possibles solucions de les disposicions de polígons regulars de manera que la suma dels angles sigui 360^o i a continuació cal descartar les solucions que no formen mosaic semiregular (vegeu l'activitat 23). Per una solució completa consulteu [Martin, 1982].

25. Quins són els mosaics duals de cadascun dels mosaics regulars? Comprova que la dualitat és una llei involutiva o sigui que si calculem el dual del dual, tornem al mosaic inicial.

26. En la figura següent es mostren les rajoles dels mosaics duals dels mosaics semiregulars. Assigna a cadascuna el mosaic semiregular del que és dual i caracteritza aquestes rajoles en termes de l'amplitud de l'angle de cada vèrtex i costats congruents.
    

27. Es tracta de construir diverses peces de trencaclosques de manera que es vegi de forma clara cada mosaic semiregular amb el seu dual, així per cadascun dels polígons duals dels mosaics semiregulars, construirem l'incentre de la figura i els segments que passen per l'incentre i són perpendiculars a cada costat, després pintarem els polígons en què queda dividida la rajola de manera que les regions corresponents a una mateixa mesura angular tinguin el mateix color, tal com mostra la figura que hi ha a continuació.