Semblança

La idea de semblança sorgeix d'una manera natural a partir de la idea de congruència. Es diu que dues figures són semblants si tenen la mateixa forma però grandàries diferents.
  1. Una fotocòpia ampliada o reduïda és una imatge semblant a l'original.
  2. Un plànol d'una casa o un mapa pretén ser una imatge semblant de la figura real que representa.
  3. Al projectar una diapositiva obtenim en la pantalla figures semblants a les de la diapositiva (cal que la diapositiva i la pantalla estiguin disposades de forma paral·lela).

La semblança es pot aplicar a qualsevol tipus de figures planes (també tridimensionals), però en principi ens centrarem en les figures planes poligonals.

\includegraphics{c:/ramon/geome/sem1}
Per tal que dues figures poligonals siguin semblants cal que hi hagi una correspondència entre els vèrtexs:

A$\displaystyle \to$A'
B$\displaystyle \to$B'
$\displaystyle \vdots$

de manera que cada segment i el corresponent que s'anomena homòleg siguin proporcionals:

$\displaystyle {\frac{AB}{A'B'}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{B'C'}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{C'D'}}$ = $\displaystyle {\frac{CA}{C'A'}}$...= k

i a més, els angles de la figura inicial han de ser iguals als de la figura homòloga:

$\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$A'B'C'
$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle \angle$B'A'C'
$\displaystyle \vdots$

d'aquesta manera, les dues figures tindran la mateixa forma però amb grandàries diferents.

El valor k s'anomena raó de semblança, en el cas de plànols o mapes s'anomena escala, una escala E = 1 : 100 ens indica que una unitat de longitud del plànol són 100 unitats de longitud de la figura real.

El fet que totes les figures poligonals es puguin triangular, fa que tingui rellevància especial al cas de les figures triangulars semblants, ja que de la semblança dels triangles podrem deduir la semblança de figures poligonals més complexes.

Per exemple en la figura adjunta, els dos rectangles ABCD i A'B'C'D' són semblants si per una banda són semblants $ \triangle$ABD i $ \triangle$A'B'D' i a més també ho són $ \triangle$BCD i $ \triangle$B'C'D'.

\includegraphics{c:/ramon/geome/sem2}



Subseccions