Teorema de Tales

El teorema estableix la proporcionalitat del segments interceptats per un feix de rectes paral·leles sobre un parell de rectes que es tallen en un punt O, o sigui, si r || s i s || t, llavors AB/A'B' = BC/B'C'
\includegraphics{c:/ramon/geome/tales1}

Entre els objectius de l'apartat no es contempla una demostració rigorosa del teorema de Tales en tots els seus casos, ho demostrarem però en els casos més senzills. Considerarem els següents casos particulars: Primer cas: AB = BC o sigui BC/AB = 1, llavors cal arribar a demostrar que B'C'/A'B' = 1 o sigui A'B' = B'C'. Traçant rectes paral·leles a u per A i B obtenim els triangles $ \triangle$ABP i $ \triangle$BCQ, que són congruents per aplicació del criteri ACA, per tant AP=BQ, com els quadrilàters APB'A' i BQC'B' són paral·lelograms, resulta A'B' = AP = BQ = B'C'

\includegraphics{c:/ramon/geome/tales2}
Segon cas: 2AB = BC o sigui BC/AB = 2. Prenem D=punt mitjà de B i C, llavors resulta AB = BD = DC, raonant d'una manera semblant que en el cas anterior, resulta A'B' = B'D' = D'C', i per tant B'C'/A'B' = 2.
\includegraphics{c:/ramon/geome/tales3}
Tercer cas: BC = nAB o sigui BC/AB = n $ \in$ $ \natu$; raonem com en el cas anterior, dividim el segment BC en n parts iguals resultant punts P1P2,..., Pn - 1 de manera que

AB = BP1 = P1P2 = ... = Pn - 1C

com en l'apartat anterior resulta:

A'B' = B'P1' = P1'P2' = ... = Pn - 1'C'

i per tant B'C'/A'B' = n.
\includegraphics{c:/ramon/geome/tales4}
  1. Quart cas: nAB = mBC, o sigui BC/AB = n/m; dividint ara el segment AB en m parts iguals i el segment BC en n parts, resulta que totes les divisions tenen la mateixa longitud atès que

    $\displaystyle {\frac{AB}{m}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{n}}$

    llavors resulta:

    AQ1 = Q1Q2 = ... = Qm - 1B = BP1 = P1P2 = ... = Pn - 1C

    raonant com en els casos anteriors obtenim:

    A'Q1' = Q1'Q2' = ... = Qm - 1'B' = B'P1' = P1'P2' = ... = Pn - 1'C'

    per tant A'B'/m = B'C'/n o sigui B'C'/A'B' = n/m
\includegraphics{c:/ramon/geome/tales5}

El cas BC/AB = x $ \in$ R es dedueix a partir de la continuïtat per aproximacions de nombres racionals n/m al nombre x, atès que qualsevol número real es pot aproximar tant com es vulgui per un número racional, tant per defecte com per excés.

Observa l'applet que hi ha a continuació on es comprova que la quantitat AB/A'B' és sempre igual a BC/B'C'.

Comprovació del teorema de Tales