Criteris de semblança de triangles

Una primera observació que podem fer és que si dos triangles $ \triangle$ABC i $ \triangle$A'B'C' estan disposats com indica la figura que hi ha a continuació, o sigui, amb un angle en comú ($ \angle$A) i dos costats paral·lels, resulta que són semblants, aquesta posició s'anomena posició de Tales.

En efecte, els angles són iguals per ser BC || B'C', i aplicant el teorema de Tales:

$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{BB'}{CC'}}$, pertant$\displaystyle {\frac{AB}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB+BB'}{AC+CC'}}$ = $\displaystyle {\frac{AB'}{AC'}}$,

per tant $ \ds$$ {\frac{AB}{AB'}}$ = $ {\frac{AC}{AC'}}$, només ens cal justificar que també $ \ds$$ {\frac{AC}{AC'}}$ = $ {\frac{BC}{B'C'}}$, la qual cosa es dedueix traçant per C la recta r || AB i aplicant un altre cop el teorema de Tales:

$\displaystyle {\frac{B'C'}{AC'}}$ = $\displaystyle {\frac{B'D'}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{AC}{AC'}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{B'C'}}$

    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/posi}