Criteris de semblança de triangles

Una primera observació que podem fer és que si dos triangles $\triangle$ABC i $\triangle$A'B'C' estan disposats com indica la figura que hi ha a continuació, o sigui, amb un angle en comú ($\angle$A) i dos costats paral·lels, resulta que són semblants, aquesta posició s'anomena posició de Tales.

En efecte, els angles són iguals per ser BC || B'C', i aplicant el teorema de Tales:

$${\frac{AB}{AC}}$$ = $${\frac{BB'}{CC'}}$$, pertant$${\frac{AB}{AC}}$$ = $${\frac{AB+BB'}{AC+CC'}}$$ = $${\frac{AB'}{AC'}}$$,

per tant $\ds$${\frac{AB}{AB'}}$ = ${\frac{AC}{AC'}}$, només ens cal justificar que també $\ds$${\frac{AC}{AC'}}$ = ${\frac{BC}{B'C'}}$, la qual cosa es dedueix traçant per C la recta r || AB i aplicant un altre cop el teorema de Tales:

$${\frac{B'C'}{AC'}}$$ = $${\frac{B'D'}{AC}}$$ = $${\frac{BC}{AC}}$$ $$\Rightarrow$$ $${\frac{AC}{AC'}}$$ = $${\frac{BC}{B'C'}}$$

    $\Box$