Baricentre d'un triangle

Com a aplicació de la semblança de triangles, demostrarem d'una nova manera que les tres mitjanes d'un triangle es tallen en un punt (baricentre).

En efecte, prenem P com el punt mitjà de AB i r la recta paral·lela a AC que passa per P, sigui Q el punt de tall de r amb el segment BC, anomenem G al punt d'intersecció dels segments PC i QA. Per construcció resulta que $ \triangle$PGQ $ \sim$ $ \triangle$CGA, per tant:

$\displaystyle {\frac{GC}{PG}}$ = $\displaystyle {\frac{GA}{GQ}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{PQ}}$,

també sabem $ \triangle$PBQ $ \sim$ $ \triangle$ABC, llavors:

$\displaystyle {\frac{AC}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{BQ}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{PB}}$ = 2,

la qual cos implica que Q és el punt mitjà de BC, GA = 2GQ i GC = 2GP. Raonant d'una manera semblant amb les mitjanes AQ i BR, resultarà que es tallaran en un punt G' tal que G'B = 2G'R i G'A = 2G'Q, per tant G = G'.
\includegraphics{c:/ramon/geome/bari}

Baricentre d'un triangle