Triangles rectangles semblants

Una manera de justificar que dos triangles rectangles són semblants, és que tinguin un dels angles aguts iguals, atès que tots dos tenen un angle recte:

$\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle \angle$ C' $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \triangle$ ABC $\displaystyle \sim$ $\displaystyle \triangle$ A'B'C'

$\includegraphics{c:/ramon/geome/rec1}$

S'anomena projecció ortogonal d'un segment $\overline{PQ}$ sobre una recta r, al segment $\overline{P'Q'}$ tal que PP' $\perp$ r i QQ' $\perp$ r. En el cas en què $\overline{PQ}$ sigui perpendicular a r, la projecció ortogonal és un punt, altrament, la longitud del segment projectat és sempre menor o igual que la longitud del segment inicial:

P'Q' $\displaystyle \le$ PQ

la igualtat es dóna quan $\overleftrightarrow{PQ}$ || r.

$\includegraphics{c:/ramon/geome/rec2}$

Al construir l'altura d'un triangle rectangle $\triangle$ ABC des de l'angle recte A, obtenim un punt D sobre la hipotenusa i es poden observar tres triangles rectangles: $\triangle$ DBA, $\triangle$ DAC i l'inicial $\triangle$ ABC, tots tres són semblants atès que són rectangles i per construcció tenen un angle en comú; establint la proporcionalitat dels costats corresponents, s'obtenen tres resultats importants:

$\includegraphics{c:/ramon/geome/rec3}$

$\begin{teorema}[de l'altura] L'altura d'un triangle rectangle és la mitjana proporcional entre les projeccions dels catets sobre la hipotenusa. \end{teorema}$
En efecte,

$\displaystyle \triangle$ ABD $\displaystyle \sim$ $\displaystyle \triangle$ CAD $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{b'}{h}}$ = $\displaystyle {\frac{h}{c'}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ b'c' = h²

$\Box$

$\includegraphics{c:/ramon/geome/altura}$

$\begin{teorema}[del catet] Cada catet d'un triangle rectangle és la mitjana prop... ... entre la hipotenusa i la projecció del catet sobre la hipotenusa. \end{teorema}$
En efecte,

$\displaystyle \triangle$ ABC $\displaystyle \sim$ $\displaystyle \triangle$ DBA $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{c'}{c}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ c² = ac'

$\Box$

$\includegraphics{c:/ramon/geome/catet}$

$\begin{teorema}[de Pitàgores] En un triangle rectangle, el quadrat de la hipoten... ... la suma de les àrees dels quadrats sobre els costats dels catets. \end{teorema}$
En efecte, aplicant el teorema del catet:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l} c^2=ac'\ b^2=ab' \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{l} c^2=ac'\ b^2=ab' \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l} c^2=ac'\ b^2=ab' \end{array}}\right\}$ $\displaystyle \Rightarrow$ c² + b² = ac' + ab' = a(c' + b') = a²

$\Box$

$\includegraphics{c:/ramon/geome/pita}$

Hi ha moltes demostracions del teorema de Pitàgores que tenen més o menys enginy. Reproduïm una deguda a Henry Perigal, corredor de borsa londinenc i astrònom amateur; consisteix en un trencaclosques que demostra el teorema de forma prou curiosa.

Pel centre del O del quadrat BCC'B' tracem la recta paral·lela a la hipotenusa AC i també la perpendicular, aquestes quatre peces junt amb el quadrat AA''B''B, encaixen per formar el quadrat sobre la hipotenusa AC, en efecte, observeu que la figura encaixa de manera perfecta pel fet que x + d = y, ja que P és el punt mitjà de AB' atès que O és el punt mitjà de B'C i per tant r és una paral·lela mitjana del triangle $\triangle$ ACB'.

**Figura 2.1:** Teorema de Pitàgores
$\includegraphics{c:/ramon/geome/pita1}$