Introducció a la trigonometria

Donat un angle agut d'amplitud $ \alpha$, li assignarem tres números que s'anomenen raons trigonomètriques de $ \alpha$ de la manera que mostrem a continuació:

Prenem un punt P qualsevol en un dels costats de l'angle, tracem des de P la perpendicular a l'altre costat que el tallarà en un cert punt Q, les relacions entre els costats del triangle rectangle $ \triangle$OPQ s'anomenen sinus, cosinus i tangent de l'angle $ \alpha$ i s'escriuen sin$ \alpha$, cos$ \alpha$ i tan$ \alpha$.

\includegraphics{c:/ramon/geome/trigo1}

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{PQ}{OP}}$ = $\displaystyle {\frac{\textrm{catet
oposat}}{\textrm{hipotenusa}}}$, cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{OQ}{OP}}$ = $\displaystyle {\frac{\textrm{catet contigu}}{\textrm{hipotenusa}}}$, tan$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{PQ}{OQ}}$ = $\displaystyle {\frac{\textrm{catet oposat}}{\textrm{catet contigu}}}$

Per justificar que la definició és correcta, cal veure que els valors PQ/OP, OQ/OP i PQ/OQ són independents del punt P que haguem escollit al començament en un dels costats de l'angle.

En efecte, si prenem un altre punt P' o P'', els triangles $ \triangle$OPQ, $ \triangle$OP'Q' i $ \triangle$OP''Q'' són semblants ja que tenen els tres angles iguals i per tant

\includegraphics{c:/ramon/geome/trigo2}

$\displaystyle {\frac{PQ}{OP}}$ = $\displaystyle {\frac{P'Q'}{O'P'}}$ = $\displaystyle {\frac{P''Q''}{O''P''}}$;    $\displaystyle {\frac{OQ}{OP}}$ = $\displaystyle {\frac{O'Q'}{O'P'}}$ = $\displaystyle {\frac{O''Q''}{O''P''}}$;    $\displaystyle {\frac{PQ}{OP}}$ = $\displaystyle {\frac{P'Q'}{O'P'}}$ = $\displaystyle {\frac{P''Q''}{O''P''}}$

Raons trigonomètriques d'un angle

La primera observació que es pot fer és que una qualsevol de les raons que acabem de definir, determinen l'angle agut, en efecte, suposem per exemple que tan$ \alpha$ = tan$ \beta$, llavors aplicant el criteri de semblança CAC resulta que els triangles $ \triangle$OPQ i $ \triangle$O'P'Q' són semblants i per tant, $ \alpha$ = $ \beta$
\includegraphics{c:/ramon/geome/trigo3}

A partir del fet que els catets d'un triangle rectangle tenen longitud inferior o igual a la de l'hipotenusa, resulta que si $ \alpha$ és un angle agut, llavors:

0 < sin$\displaystyle \alpha$ < 1,    0 < cos$\displaystyle \alpha$ < 1

L'enunciat recíproc d'aquesta proposició també és cert, en efecte, per cada valor y tal que 0 < y < 1, existeix un angle agut $ \alpha$ tal que sin$ \alpha$ = y, només cal construir un triangle rectangle amb hipotenusa de longitud 1 i un catet de longitud y, de la mateixa manera, existeix un altre angle agut $ \beta$ tal que cos$ \beta$ = y, la relació entre $ \alpha$ i $ \beta$, és $ \alpha$ + $ \beta$ = 90o, o sigui, $ \alpha$ i $ \beta$ són complementaris. De la mateixa manera, si z > 0, existeix $ \gamma$ angle agut tal que tan$ \gamma$ = z.

Variació d'un angle a partir del sinus OP

El càlcul aproximat en graus, minuts i sefons de l'angle $ \alpha$ si coneixem una de les seves raons es pot fer amb la calculadora aplicant les inverses de les funcions trigonomètriques.



Subseccions