Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º

L'anàlisi del elements d'un triangle equilàter ens permet trobar fàcilment les raons trigonomètriques de 30o i 60o:

h2 = l2 - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{l}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{l}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{l}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{3l^2}{4}}$$\displaystyle \Ra$h = l$\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$

per tant:

sin 60o = $\displaystyle {\frac{h}{l}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$; 60o = $\displaystyle {\frac{l/2}{l}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$; 60o = $\displaystyle {\frac{h}{l/2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$

sin 30o = $\displaystyle {\frac{l/2}{l}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$; 30o = $\displaystyle {\frac{h}{l}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$; 30o = $\displaystyle {\frac{l/2}{h}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{3}}$

De la mateixa manera, l'anàlisi d'un un triangle rectangle isòsceles ens permet calcular les raons d'un angle de 45o,

h2 = c2 + c2 = 2c2$ \Ra$ h = $ \sqrt{2}$c, per tant:

sin 45o = $\displaystyle {\frac{c}{h}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt2}{2}}$,    cos 45o = $\displaystyle {\frac{c}{h}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt2}{2}}$,    tan 45o = $\displaystyle {\frac{c}{c}}$ = 1

\includegraphics{c:/ramon/geome/trenta}

A partir del pentàgon regular podem calcular d'una manera exacta les raons trigonomètriques de 36o, 54o, 18o i 72o. Justificarem primer que la raó entre la diagonal d'un pentàgon regular i el seu costat és el nombre d'or, d /l = $ \phi$ = ($ \sqrt{5}$ + 1)/2. En efecte, el triangle $ \triangle$AEB és isòsceles, per tant, l = AB = EB, a més els triangles $ \triangle$ABC i $ \triangle$DEC són semblants ja que tenen els angles corresponents iguals, per tant:

$\displaystyle {\frac{AC}{DC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{DE}}$$\displaystyle \Ra$$\displaystyle {\frac{d}{l}}$ = $\displaystyle {\frac{l}{d-l}}$

prenent x = d /l, resulta x = $ \ds$$ {\frac{1}{x-1}}$$ \Ra$x2 - x - 1 = 0 $ \Ra$ x = ($ \sqrt{5}$ + 1)/2.
\includegraphics{c:/ramon/geome/penta}

Si ens fixem en el triangle isòsceles $ \triangle$ACB, $ \angle$BAC = 72o, per tant:

cos 72o = sin 18o = $\displaystyle {\frac{AB/2}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{l/2}{d}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\phi}}$ = $\displaystyle {\frac{\phi-1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt5-1}{4}}$

el triangle $ \triangle$ADC també és isòsceles i $ \angle$ADC = 108o, llavors:

cos 36o = sin 54o = $\displaystyle {\frac{d/2}{l}}$ = $\displaystyle {\frac{\phi}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt5+1}{4}}$

Si coneixem el costat l d'un pentàgon regular, es pot construir amb regle i compàs la seva diagonal, tal com mostra la figura ja que d = l ($ \sqrt{5}$ + 1)/2, la qual cosa dóna un mètode per construir un pentàgon regular conegut el costat.

Figura 2.2: Construcció d'un pentàgon regular
\includegraphics{c:/ramon/geome/penta2}